2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение11.12.2012, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
У Постникова формулы есть только для первого случая теоремы Ферма. Но книжку я всячески рекомендую.

Пусть $a$, $b$, $c$ - взаимно простые натуральные числа, являющиеся решением уравнения $x^n+y^n=z^n$, где $n$ - нечётное простое число, то есть, выполняется равенство $a^n+b^n=c^n$.
Первый случай теоремы Ферма: ни одно из чисел $a$, $b$, $c$ не делится на $n$.
Тогда существуют такие натуральные числа $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$, что $$c-b=A_1^n,\qquad\frac{c^n-b^n}{c-b}=A_2^n,$$ $$c-a=B_1^n,\qquad\frac{c^n-a^n}{c-a}=B_2^n,$$ $$a+b=C_1^n,\qquad\frac{a^n+b^n}{a+b}=C_2^n.$$ Заметим, что ни одно из чисел $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ не делится на $n$.

Второй случай теоремы Ферма: одно из чисел $a$, $b$, $c$ делится на $n$.
1) Пусть $a$ делится на $n$. Тогда существуют такие натуральные числа $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$, что $$c-b=\frac{A_1^n}n,\qquad\frac{c^n-b^n}{c-b}=n\cdot A_2^n,$$ $$c-a=B_1^n,\qquad\frac{c^n-a^n}{c-a}=B_2^n,$$ $$a+b=C_1^n,\qquad\frac{a^n+b^n}{a+b}=C_2^n.$$ Заметим, что только $A_1$ делится на $n$.
2) Пусть $b$ делится на $n$. Тогда существуют такие натуральные числа $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$, что $$c-b=A_1^n,\qquad\frac{c^n-b^n}{c-b}=A_2^n,$$ $$c-a=\frac{B_1^n}n,\qquad\frac{c^n-a^n}{c-a}=n\cdot B_2^n,$$ $$a+b=C_1^n,\qquad\frac{a^n+b^n}{a+b}=C_2^n.$$ Заметим, что только $B_1$ делится на $n$.
3) Пусть $c$ делится на $n$. Тогда существуют такие натуральные числа $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$, что $$c-b=A_1^n,\qquad\frac{c^n-b^n}{c-b}=A_2^n,$$ $$c-a=B_1^n,\qquad\frac{c^n-a^n}{c-a}=B_2^n,$$ $$a+b=\frac{C_1^n}n,\qquad\frac{a^n+b^n}{a+b}=n\cdot C_2^n.$$ Заметим, что только $C_1$ делится на $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение12.12.2012, 00:54 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 ! 
vasili в сообщении #656638 писал(а):
Уважаемый dennady1!
vasili в сообщении #656983 писал(а):
gehhady!

vasili,

предупреждение за искажение ника пользователя!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение12.12.2012, 11:55 


14/11/12
23
Рассмотрим уравнение (11).
Уравнение (11) имеет решение (тема: уравнение (11) не имеет решения в целых числах):

$y=l+(l/2)^{1/3} \cdot (\sqrt[3]{c+h}+\sqrt[3]{c-h}), \qquad l \geq 1\qquad$ (1)

$c=3(l+1), \qquad h=\sqrt{9l^2-14l+9}, \qquad c>h>0. \qquad$ (2)

При условии $l=1$ , решение (1) есть иррациональное число: $y=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$.
Рассмотрим (1) при условии $l \geq 2$.
1. $l=2n+1, \qquad n \geq 1$.

$y=2n+1+\sqrt[3]{c_{1}+(2n+1)h_{1}}+\sqrt[3]{c_{1}-(2n+1)h_{1}} \qquad$ (3)

$c_{1}=3(n+1)(2n+1), \qquad h_{1}=\sqrt{9n^2+2n+1} \qquad$ (4)

2. $l=2n, \qquad n \geq 1$.

$y=2n+\sqrt[3]{c_{2}+nh_{2}}+\sqrt[3]{c_{2}-nh_{2}} \qquad$ (5)

$c_{2}=3n(2n+1), \qquad h_{2}=\sqrt{36n^2-28n+9} \qquad$ (6)

Рассмотрим уравнение:
$9n^2+2n-(h_{1}^{2}-1)=0, \qquad h_{1}>1 \qquad$ (7)

Найдем целые значения числа $n$, при которых $h_1$ целое число.
Уравнение (7) имеет одно положительное решение:

$9n=\sqrt{9h_{1}^{2}-8}-1 \qquad$ (8)

Рассмотрим равенство: $(3h_1)^2-d_{1}^{2}=8 \qquad$ (9)

$d_1$ - целое число. Если $h_1$ целое число, то $(3h_{1}, d_{1})$ целые числа одной чётности. В этом случае, уравнение (9) можно представить в виде:

$m^2-k^2=2, \qquad m>k\geq 1 \qquad$ (10)

Для целых чисел $(m, n)$, равенство (10) невыполнимо. Итак, для целого числа $n \geq 1, \qquad h_1$ не является целым числом. Согласно (4), $h_1$ иррациональное число.
Рассмотрим уравнение:

$36n^2-28n-(h_{2}^{2}-9)=0, \qquad h_{2}>3 \qquad$ (11)

Найдем целые значения числа $n$, при которых $h_2$ целое число.
Уравнение (11) имеет одно положительное решение:

$18n=\sqrt{9h_{2}^{2}-32}+7 \qquad$ (12)

Рассмотрим равенство: $(3h_2)^2-d_{2}^{2}=32 \qquad$ (13)

$d_2$ - целое число. Если $h_2$ целое число, то $(3h_{2}, d_{2})$ целые числа одной чётности. В этом случае, уравнение (13) можно представить в виде:

$m^2-k^2=8, \qquad m>k\geq 1 \qquad$ (14)

Согласно(9), для целых чисел $(m, n)$, равенство (14) невыполнимо. Итак, для целого числа $n \geq 1, \qquad h_2$ не является целым числом. Согласно (6), $h_2$ иррациональное число.
Введем обозначения: $N_{1}=9n^2+2n+1, \qquad N_{2}=36n^2-28n+9 \qquad$ (15)

Для целого числа $n \geq 1$, $(N_1, N_2)$ не являются полными квадратами целых чисел. Такие числа можно единственным образом представить в виде:

$N_1=m_{1}^{2} \cdot a,\qquad m_1 \geq 1;\qquad N_2=m_{2}^{2} \cdot b,\qquad m_2 \geq 1$ (16)

$(m_1, m_2)$ - целые числа, $(a, b)$ - простые числа. В общем случае, $(a, b)$ это произведения простых чисел не равных друг другу:

$a=a_1 \cdots a_i \cdots a_K, \qquad a_{i+1}>a_{i}, \qquad i=(1, K)$

$b=b_1 \cdots b_j \cdots b_M, \qquad b_{j+1}>b_{j}, \qquad j=(1, M)$

$(a_i, b_j)$ простые числа, $a_1 \geq2, \qquad b_1 \geq 2$.
С учётом (15) и (16), $(h_1, h_2)$ равны:

$h_1=m_1 \cdot \sqrt{a}, \qquad h_2=m_2 \cdot \sqrt{b} \qquad$ (17)

Согласно (17), $(h_1, h_2)$ иррациональные числа, по определению. С учётом (17), решения (3) и (5) равны:

$y=2n+1+\sqrt[3]{u_1}+\sqrt[3]{v_1}, \qquad u_1>v_1>0 \qquad$ (18)

$u_1=c_1+(2n+1)m_{1}\sqrt{a}, \qquad v_1=c_1-(2n+1)m_{1}\sqrt{a} \qquad$ (19)

$y=2n+\sqrt[3]{u_2}+\sqrt[3]{v_2}, \qquad u_2>v_2>0 \qquad$ (20)

$u_2=c_2+nm_{2}\sqrt{b}, \qquad v_2=c_2-nm_{2}\sqrt{b} \qquad$ (21)

Согласно (19) и (21), $(u_i, v_i), i=1,2$ есть иррациональные алгебраические выражения, по определению. В этом случае, $(\sqrt[3]{u_i}, \sqrt[3]{v_i})$ это радикалы из иррациональных выражений. Следовательно, эти радикалы могут быть только иррациональными числами. Итак, правые части решений (18) и (20) являются иррациональными алгебраическими выражениями, по определению.
И последнее, если допустить, что правые части (18) и (20) есть целые числа, то, следовательно, теорема Ферма неверна.

-- 12.12.2012, 11:07 --

Someone!
Спасибо!
Книгу я уже скачал.
Итак, имеем формулы. Что дальше с ними делать. Фактически исходное уравнение при данных условиях представлено в ином виде и более сложном.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение12.12.2012, 12:50 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
gennady в сообщении #657388 писал(а):
Итак, правые части решений (18) и (20) являются иррациональными алгебраическими выражениями, по определению.
По какому определению? Видимо, по этому определению и выражение$$\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}$$тоже будет иррациональным алгебраическим. Однако это ему совершенно не мешает иметь очень даже рациональное значение $6$.
gennady в сообщении #657388 писал(а):
И последнее, если допустить, что правые части (18) и (20) есть целые числа, то, следовательно, теорема Ферма неверна.
Но в процессе доказательства теоремы Ферма (а Вы как раз ровно этим здесь и занимаетесь) нельзя опираться на такой аргумент --- апеллировать к тому, что эта теорема не может быть неверной. Неужели Вы и этого не понимаете?

В общем, читайте-ка Вы лучше книжки, просвещайтесь, всё пользы больше будет, чем от писания бредовых текстов. Одну хорошую книгу Вам уже присоветовали, я от себя добавлю ещё одну: П. Рибенбойм "Последняя теорема Ферма для любителей", М.: Мир, 2003.
gennady в сообщении #657388 писал(а):
Фактически исходное уравнение при данных условиях представлено в ином виде и более сложном.
Может, это потому, что на самом деле задача не такая простая, как Вам представляется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение12.12.2012, 17:41 


14/11/12
23
1. Покажите, как это у Вас получилось:

$\sqrt[3]{45+29 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29 \sqrt{2}}=6$

2. Если $c_1=45$ , тогда $n=2$, $h_1=\sqrt{41}$ и получаем радикалы:

$\sqrt[3]{45+5 \sqrt{41}}+\sqrt[3]{45-5 \sqrt{41}}$

3. Если $c_2=45$ , тогда $n=5/2$

4. Не относитесь слишком серьезно к последнему аргументу. Математики тоже шутят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение12.12.2012, 18:20 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
gennady в сообщении #657537 писал(а):
1. Покажите, как это у Вас получилось:

$\sqrt[3]{45+29 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29 \sqrt{2}}=6$
Посчитайте на калькуляторе.
А прикол в том, что доказать, что это выражение (по вашему определению - иррациональное алгебраическое), является целым числом, насколько я знаю, можно только построив соответствющее кубическое уравнение, и подставив предполагаемый корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение12.12.2012, 19:42 


14/11/12
23
Это не ответ.
Вы утверждаете, что сумма радикалов равна 6, а доказать не можете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение12.12.2012, 19:45 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
gennady в сообщении #657612 писал(а):
Это не ответ.
Вы утверждаете, что сумма радикалов равна 6, а доказать не можете.
Могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение12.12.2012, 19:49 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
gennady в сообщении #657537 писал(а):
Математики тоже шутят.
Так это математики, им можно. Если бы Вы были математиком, мне бы не пришлось комментировать ту совершенно одинаковую чушь, которую Вы по нескольку раз переписываете в разных обозначениях.

-- Ср дек 12, 2012 23:53:37 --

gennady в сообщении #657612 писал(а):
а доказать не можете
Опять шутите? $\sqrt[3]{45 \pm 29\sqrt{2}}=3 \pm \sqrt{2}$, что проверяется возведением в куб.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение12.12.2012, 20:47 


31/12/10
1555
После возведения в куб всего выражения получим
кубическое уравнение
$x^3-21x-90=0$
Будем иметь три корня: $x_1=6$ и два комплексных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы Ферма для степени три
Сообщение12.12.2012, 21:45 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
gennady в сообщении #657612 писал(а):
Вы утверждаете, что сумма радикалов равна 6, а доказать не можете.
 !  gennady,

доказать это могу даже я, простой модератор данного форума. Потому что я хорошо учился в школе и почему-то сохранил хапнутые там знания.
А для Вас, оказывается, такая (общеизвестная) ерунда --- великое откровение (или маленькая неожиданность).
На основании этого наблюдения, и доверяясь комментариям участников, я закрываю Ваше доказательство Ваши измышления, как исходящие от автора, элементарно некомпетентного в деле, за которое он взялся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group