2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрический расчёт шкива
Сообщение04.12.2012, 14:25 


04/12/12
3
Здравствуйте. Вот такая задача попалась на производстве.

Изображение

Это два грубо говоря колеса с известными радиусами. Также известна длина "ремня", опоясывающего оба колеса. $L=400$ мм. Требуется найти $X$ (то есть межцентровое расстояние)

Как решали мы с другом:

Изображение

Ввели угол альфа и пишем систему уравнений

Изображение

Первое выражение – понятно.
Во втором первые два слагаемые – вывод длин дуг через угол альфа, третье слагаемое – длина касательного к двум окружностям отрезка.

При решении этой системы после упрощений и подстановок вылезло уравнение типа $A\tg(x)+Bx=C$. Как его решать я ума не приложу.
Либо может подскажете более лёгкий способ вывода $X$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрический расчёт шкива
Сообщение04.12.2012, 14:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Численно, только не забудьте, что $\alpha$ надо выражать в радианах, а не в градусах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрический расчёт шкива
Сообщение04.12.2012, 14:46 


04/12/12
3
Численно не надо, нужна именно функция. Так как исполнения с разными параметрами будут появляться часто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрический расчёт шкива
Сообщение04.12.2012, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
astertr в сообщении #654021 писал(а):
Численно не надо, нужна именно функция. Так как исполнения с разными параметрами будут появляться часто.
Cоставьте таблицу или достаточно подробную систему графиков.

Входы таблицы - отношение радиусов и отношение длины "ремня" к одному из них (или полусумме).

Всё делается в экселе, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрический расчёт шкива
Сообщение04.12.2012, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
astertr в сообщении #654021 писал(а):
нужна именно функция

Её нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрический расчёт шкива
Сообщение04.12.2012, 15:08 


04/12/12
3
Значит ли это, что система нерешаема? По радиусам и длине ремня можно однозначно определить межцентровое расстояние (по крайней мере графически). Аналитически почему нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрический расчёт шкива
Сообщение04.12.2012, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
astertr в сообщении #654033 писал(а):
Значит ли это, что система нерешаема? По радиусам и длине ремня можно однозначно определить межцентровое расстояние (по крайней мере графически). Аналитически почему нельзя?

Есть тьма функций, не имеющих "формульного" выражения через т.н. элементарные. Некоторые получили имя и хорошо табулированы. Не исключено, что и Ваш случай попадает в "именные", но бывает проще организовать счёт самому.
Эксель-то есть?
====
Когда-то инженеры пользовались готовыми номограммами :offtopic3:

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрический расчёт шкива
Сообщение04.12.2012, 16:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
astertr в сообщении #654011 писал(а):
вылезло уравнение типа Atg(x)+Bx=C.

Оно заметно проще: $\tg\alpha-\alpha=C$, где $C=\dfrac{L-2\pi R}{2(R-r)}$ (если, конечно, альфу выражать в радианах). И хотя явно оно всё равно не решается, но уж затабулировать зависимость $\alpha$ от $C$ совсем нетрудно. Если же неохота возиться с таблицами, то можно, скажем, находить решение методом Ньютона: $\alpha_{k+1}=\alpha_k-\dfrac{\tg\alpha_k-\alpha_k-C}{\tg^2\alpha_k}$, беря в качестве начального приближения $\alpha_0=\arctg(\frac{\pi}2+C)$. Вряд ли "на производстве" встретятся $C$ меньше единицы или даже двойки, а тогда для исчерпания машинной точности понадобится не более пяти шагов по этой рекуррентной формуле.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group