2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Диофантово уравнение от 3 неизвестных
Сообщение14.11.2015, 09:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5468
Новосибирск
TR63 в сообщении #1073233 писал(а):
спасибо за ссылку. Очень прозрачное объяснение

А-а-а - это было пользы для? Муторно и польза сомнительная. Внимательно лень смотреть (если стандартное вполне прозрачно), охватывается или нет случай не взаимно простых коэффициентов.
Вот, скажем, даёт ли ссылка алгоритм решения для $15x+21y+35z=8$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение от 3 неизвестных
Сообщение14.11.2015, 10:22 


03/03/12
938
bot в сообщении #1073237 писал(а):
Вот, скажем, даёт ли ссылка алгоритм решения для $15x+21y+35z=8$?

Не знаю. Начало мне там понравилось. Вроде, автор не утверждает, что нашёл все решения. Во всяком случае этот вопрос им до конца в прозрачной для меня форме не рассмотрен. Считать не хочется. Если у Вас есть готовый ответ, выкладывайте, коли не лень или не жаль (мне эти уравнения не к чему, но ответ был бы интересен).
bot,
Верно ли я поняла, что и другим ссылкам по практическим вычислениям в той ссылке нельзя доверять. (А, то я, уж, понадеялась на халяву.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение от 3 неизвестных
Сообщение14.12.2015, 12:47 


26/11/13
15
Самара
bot в сообщении #1073237 писал(а):
Вот, скажем, даёт ли ссылка алгоритм решения для $15x+21y+35z=8$?


нет, бот такое уравнение не решает, так как не может решить составное уравнение из двух переменных, когда они не взаимно простые.. но сам алгоритм разложения диофантового уравнения с тремя переменными на три уравнения с двумя переменными правильный.

Спасибо, за критику... придется доделывать...

TR63 в сообщении #1073244 писал(а):
Не знаю. Начало мне там понравилось. Вроде, автор не утверждает, что нашёл все решения. Во всяком случае этот вопрос им до конца в прозрачной для меня форме не рассмотрен. Считать не хочется. Если у Вас есть готовый ответ, выкладывайте, коли не лень или не жаль (мне эти уравнения не к чему, но ответ был бы интересен).
bot,
Верно ли я поняла, что и другим ссылкам по практическим вычислениям в той ссылке нельзя доверять. (А, то я, уж, понадеялась на халяву.)


у автора сайта конечно не математическое образование.. и уровень знаний наверняка намного ниже чем у того же bot, но я стараюсь делать правильных ботов...
Спасибо за положительный отзыв....

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение от 3 неизвестных
Сообщение23.12.2015, 07:23 


26/11/13
15
Самара
verywell в сообщении #1082054 писал(а):
bot в сообщении #1073237 писал(а):
Вот, скажем, даёт ли ссылка алгоритм решения для $15x+21y+35z=8$?

нет, бот такое уравнение не решает, так как не может решить составное уравнение из двух переменных, когда они не взаимно простые.. но сам алгоритм разложения диофантового уравнения с тремя переменными на три уравнения с двумя переменными правильный.


подкорректирую свое сообщение, решения вышеуказанного в целых числах не существует, методика по той ссылке, что была позволяет решать и такие уравнения. В материал статьи добавлен и Ваш пример.
зато его можно решить в таком виде (не целочисленное но зато рабочее)
$x=7t+\frac{7}{3}z+1 \\y=-5t-\frac{10}{3}z-\frac{1}{3}\\z=z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение от 3 неизвестных
Сообщение23.12.2015, 09:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5468
Новосибирск
$\left\{\begin{matrix}x=\frac8{15}-\frac{21}{15}y-\frac{35}{15}z\\ y=y\\ z=z \end{matrix}\right.$
Это еще проще, а чем оно хуже менее рабочее?
verywell в сообщении #1084913 писал(а):
решения вышеуказанного в целых числах не существует

Это о нём же? Возьмите $x=1, y=3, z=-2.$

-- Ср дек 23, 2015 13:22:03 --

Сходил по ссылке - добавлено именно оно и утверждается, что целочисленных решений у него нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение от 3 неизвестных
Сообщение23.12.2015, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5468
Новосибирск
Добавлю маленько. Если знать, как решается уравнение с двумя переменными, то увеличение числа переменных принципиальных трудностей не создаёт. Подробности можно поискать в известных учебниках по теории чисел. Вычленить из Бухштаба вычислительный алгоритм будет для начинающего несколько трудноват. Также не искал есть ли в инете нормальные сайты с примерами. Изложу одну из возможных схем, ограничиваясь этим примером.

Итак, требуется найти все целые решения уравнения $15x+21y+35z=8.$
Временно считаем $z$ ио параметра, то есть рассматриваем уравнение $15x+21y=8-35z, $ считая параметр $z$ известным.
Так как левая часть делится на 3, то это уравнение явно неразрешимо, если $8-35z$ не делится на 3, иначе же $z\equiv 1 \pmod{3}$, то есть $z=1+3u, \, u\in  \mathbb Z$.
Подставив в уравнение и сократив на 3, получим $5x+7y=-9-35u.$
Это уже стандартное уравнение общим решением:
$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\ 2\end{pmatrix}(9+35u)+\begin{pmatrix}7\\ -5\end{pmatrix}v,$$
Как итог переменные $x,y,z$ выражены через произвольные целочисленные параметры $u$ и $v$.
В общем случае, линейное уравнение с $n$ неизвестными будет разрешимо только если правая часть делится на НОД коэффициентов левой части и общее решение в таком случае будет содержать $n-1$ произвольных целочисленных параметров. Схема та же, как показано - одно из переменных ио параметра (чтобы заслужить такую честь, надо иметь соответствующий вид - что-то на что-то должно делиться), получаем уравнение с параметром от меньшего числа неизвестных, опять уменьшаем число неизвестных и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение от 3 неизвестных
Сообщение24.12.2015, 03:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5468
Новосибирск
Лучше однако другая. Общее решение - это сумма частного решения и общего решения однородного. В разрешимом случае частное решение можно Евклидом найти - сначала единицу через коэффициенты представим, а потом лишь домножим.
Ну а в нахождении общего решения однородного уже свободный член не мешается и просто по делимости уменьшаем коэффициенты до тех пор, пока один из них не станет единицей. Например для уравнения
$15x+21y+35z=0$ последовательно имеем

$z=3z_1, \, 5x+7y+35z_1=0$
$y=5y_1, \, x+7y_1+7z_1=0$

Вместе с найденным ранее частным решением имеем общее решение

$$\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 3\\ -2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-7\\ 5\\ 0\end{pmatrix}y_1+\begin{pmatrix}-7\\ 0\\ 3\end{pmatrix}z_1$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group