Помогите доказать неравенство!

[geniy88]

Вот такая вот задача (может скорее вычислительная, никак не пойму как закончить):
Покажите, что если $N \in \mathbb{N}$ и $\z_1 , z_2, ..., z_N \in \mathbb{C}$, тогда существует подмножество $S \subseteq \{1,2,...,N \}$ такое что выполняется следующее:

$|\sum_{j \in S} \ z_{j}| \ge \frac{1}{\pi} \sum_{j=1}^{N} \ |z_{j}| $
Подсказка: запиши $\ z_{j}=e^{i{\alpha}_j}$ и пусть $S(\theta)=\{ j : cos({\alpha}_j - \theta)>0 \}$, покажи

$|\sum_{j \in S(\theta)} \ z_{j}| \ge \sum_{j=1}^{N} \ |z_{j}| cos^{+}(\alpha_j - \theta)$ где $\ cos^{+} (\phi)=max (cos \phi, 0)$ потом усреднив по $\theta$ получи нужный результат.

Я пытался записать $e^{i{\alpha}_j}=cos {\alpha}_j + i sin {\alpha}_j и подставлял вместо $\theta$ нуль, но никчему не пришел.

[ИСН]

post162950.html

[geniy88]

можно чуть поподробнее?

[ИСН]

Вместо чисел рассматриваем ориентированные отрезки (от числа до нуля на комплексной плоскости), тогда справа получается сумма длин отрезков, слева - сумма длин их проекций на какую-то прямую, и мы входим в круг понятий той задачи.
Сама-то задача не идентична, нет.

[geniy88]

хм....

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: бессодержательный заголовок

Сделайте заголовок более содержательным. После чего сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[geniy88]

Господа, есть более легкий путь решения? Я никак непойму с чего начать :(

-- Пн дек 03, 2012 06:48:05 --

Вернее, предположим я доказал

$|\sum_{j \in S(\theta)} \ z_{j}| \ge \sum_{j=1}^{N} \ |z_{j}| cos^{+}(\alpha_j - \theta)$ где $\ cos^{+} (\phi)=max (cos \phi, 0)$

Что значит усреднять по $\theta$? Есть какой нибудь наглядный пример?