2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 11  След.
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 19:22 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Munin в сообщении #676505 писал(а):
Спасибо. Я опять перестал бояться :-)


В общем не сложно посчитать. Функцию распределения

$$
f(u) = \langle 0 | \delta\left(\int E dx - u\right)| 0 \rangle
$$

считать не с руки. Но можно посчитать фурье-образ функции распределения (характеристическую функцию, она же производящая для моментов). Под усреднением получится экспонента от линейной формы от операторов рождения/уничтожения, что есть оператор сдвига. Интеграл от гауссиана (основное состояние осциллятора) на сдвинутый гауссиан считается легко. Вроде так на вскидку...

Кстати, таким манером считать до конца довольно занудно. Но в принципе достаточно показать, что получается гауссовское распределение. После чего достаточно посчитать лишь второй момент, что совсем просто :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 19:33 


07/06/11
1890
Так, если аккуратно начать квантовать скалярное действительное массивное поле в 1+1-мерном пространстве-времени.

В классике полевые переменные поля $\phi$, сопряженные им импульсные переменные поля $\pi=\cfrac{\partial L}{\partial(\partial_0\phi)}=\partial^0 \phi$, гамильтониан $H=\partial_x \phi \partial_x \phi +m^2 \phi \phi$.

В КТП операторы полевой переменной и импульсной переменной $\hat \phi(x,t), \hat \pi(x,t)$.
Гамильтониан $\hat H=(\partial_x \hat \phi(x,t) ) (\partial_x \hat \phi(x,t)) + m^2 \hat \phi \hat \phi$, где, как я понимаю, производная по $x$ должна браться от оператора.

Тогда у вакуума будет энергия $H_0=\langle 0 \rvert \hat H \lvert 0 \rangle = \langle 0 \rvert \partial_x \hat \phi \partial_x \hat \phi \lvert 0 \rangle + m^2 \langle 0 \rvert \hat \phi \hat \phi \lvert 0 \rangle$. И её, пока что, будем считать вычисленной и известной.

Для простоты возьмём состояние с одной частицей. У него вектор-состояния $\hat a^+(x) \lvart 0 \rangle$.
Энергия у этого состояния должна быть $ \langle 0 \rvert \hat a \partial_x \hat \phi \partial_x \hat \phi \hat a^+ \lvert 0 \rangle + m^2 \langle 0 \rvert \hat a \hat \phi \hat \phi \hat a^+ \lvert 0 \rangle$.
Далее, вычисляем коммутаторы от $\hat a, \hat a^+,\hat \phi, \partial_x \hat \phi$, и с их помощью "перетаскиваем" $\hat a^+$ влево, чтобы оно обратило вакуум, стоящий слева, в нуль, а $\hat a$ - вправо, с той же целью.

Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 19:38 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
EvilPhysicist в сообщении #676514 писал(а):
Для простоты возьмём состояние с одной частицей. У него вектор-состояния $\hat a^+(x) \lvart 0 \rangle$.



Не-а :-) У него вектор-состояния $\int \Phi(x)a^+(x)| 0 \rangle dx$ где $\Phi(x)$ -- уже обычная КМ-волновая функция (именно функция!) частицы (как только ограничились ОДНОЙ и только одной частицей, так стало возможным говорить о механике). Несколько нестандартное обозначение $a^+(x)$, правда. Обычно так обозначают только операторы рождения плоских волн.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 19:46 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
EvilPhysicist в сообщении #676514 писал(а):
гамильтониан $H=\partial_x \phi \partial_x \phi +m^2 \phi \phi$.

Нет

Alex-Yu
Alex-Yu в сообщении #676510 писал(а):
$$f(u) = \langle 0 | \delta\left(\int E dx - u\right)| 0 \rangle$$

Запись какая-то странная. Нельзя ли дельта-функцию вынести за знак среднего? У Вас здесь $E$ оператор или что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 19:49 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
EvilPhysicist в сообщении #676514 писал(а):
Так?



Ну где-то так, примерно. Только отнимите от энергии Вашей частицы энергию вакуума. И выведите механику одночастичного состояния (если частица одна и в процессе временной эволюции к одночастичному состоянию не подмешиваются состояния с другим числом частиц, то такое возможно). Вполне неплохое упражнение. Получится (при Вашем гамильтониане) довольно обычное уравнение Шредингера из КМ. Но это будет только некоторый "сектор" (одночастичный) теории поля.

-- Сб янв 26, 2013 23:50:01 --

espe в сообщении #676520 писал(а):
Нельзя ли дельта-функцию вынести за знак среднего?



Нельзя.

-- Сб янв 26, 2013 23:50:50 --

espe в сообщении #676520 писал(а):
У Вас здесь $E$ оператор или что?



Да, оператор. Профессионалы шляпы обычно не пишут, догадываются по контексту где оператор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 19:53 


07/06/11
1890
Alex-Yu в сообщении #676517 писал(а):
У него вектор-состояния $\int \Phi(x)a^+(x)| 0 \rangle dx$ где $\Phi(x)$ -- уже обычная КМ-волновая функция (именно функция!) частицы

Почему?
И если это так, то, получается, в импульсном представлении должно быть что-то вроде $\int dk \Phi(k) a(k)^+ \lvert 0 \rangle$?

espe в сообщении #676520 писал(а):
Нет

Завтра на свежую голову проверю гаммильтониан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 19:55 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
EvilPhysicist в сообщении #676525 писал(а):
И если это так, то, получается, в импульсном представлении должно быть что-то вроде $\int dk \Phi(k) a(k)^+ \lvert 0 \rangle$?



Именно так. Здесь $\Phi(k)$ -- волновая функция в импульсном представлении. Если плоская волна, то это дельта-функция и интеграл исчезает. Но в общем случае частица же не обязательно должна быть плоской волной.

-- Сб янв 26, 2013 23:59:07 --

EvilPhysicist в сообщении #676525 писал(а):
Завтра на свежую голову проверю гаммильтониан.



Интеграла в Вашем гамильтониане не хватает. Это не гамильтониан, это плотность гамильтониана (но на жаргоне называют и гамильтонианом тоже, но это жаргон). Но если хотите написать, к примеру, уравнение Шредингера, то извольте использовать именно гамильтониан, а не его плотность. Энергия, зависящая от точки, это вообще бред какой-то. Энергия относится ко всему вместе, всей системе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 19:59 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
Alex-Yu в сообщении #676523 писал(а):
Да, оператор. Профессионалы шляпы обычно не пишут, догадываются по контексту где оператор.

То есть в аргументе дельта-функции стоит оператор минус число?

Как вычислить действие дельта-функции на вакуум?

-- Сб янв 26, 2013 21:01:28 --

Alex-Yu в сообщении #676527 писал(а):
Интеграла в Вашем гамильтониане не хватает.

Главное там импульсов не хватает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 20:02 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
espe в сообщении #676530 писал(а):
То есть в аргументе дельта-функции стоит оператор минус число?



Обычное дело. Математический пурист вместо числа должен был бы написать это число умножить на единичный (тождественный) оператор. Но физики таким занудством не занимаются :-)

-- Вс янв 27, 2013 00:04:20 --

espe в сообщении #676530 писал(а):
Как вычислить действие дельта-функции на вакуум?


"действие дельта-функции на вакуум" -- это неизвестно что. Но дельта-функция от оператора (как и другая функция) -- это тоже оператор (другой, не тот, что под функцией).

-- Вс янв 27, 2013 00:06:21 --

espe в сообщении #676530 писал(а):
Главное там импульсов не хватает.


Да, градиенты надо выразить через импульсы. Но можно, в принципе, и так оставить. Кто там импульсы нужно только для получения коммутационных соотношений. Собственно Вам нужно только выразить поле через операторы рождения/уничтожения и найти коммутационные соотношения для этих операторов. Дальше про канонические импульсы можете забыть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 20:17 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
Спасибо. Понял, что имеется ввиду.

-- Сб янв 26, 2013 21:21:26 --

Alex-Yu в сообщении #676531 писал(а):
Да, градиенты надо выразить через импульсы. Но можно, в принципе, и так оставить.

Какие градиенты? Тогда уж производные поля по времени (которых там нет). Там не хватает ещё одного слагаемого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 20:22 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
espe в сообщении #676536 писал(а):
Там не хватает ещё одного слагаемого.



Да, это я заврался. Бывает :-( Но интеграла все равно не хватает в т.ч.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex-Yu в сообщении #676523 писал(а):
Профессионалы шляпы обычно не пишут, догадываются по контексту где оператор.

Просто в КТП вообще всё оператор. Вот их и перестали писать. А шляпы используют для других целей - обычно в кинематических расчётах ФЭЧ это единичный вектор $\hat{\mathbf{v}}=\mathbf{v}/v.$ Хотя где-то видел шляпу в смысле фейнмановского перечёркивания $\rlap{/}v=\gamma^\mu v_\mu.$

Alex-Yu в сообщении #676527 писал(а):
Энергия, зависящая от точки, это вообще бред какой-то. Энергия относится ко всему вместе, всей системе.

Ну почему, а ТЭИ? Его интегрированием как раз гамильтониан и получают. Иногда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 20:48 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Munin в сообщении #676551 писал(а):
Ну почему, а ТЭИ? Его интегрированием как раз гамильтониан и получают. Иногда.



Это жаргон. ТЭИ -- это плотность энергии-импульса (и поток заодним, но это тоже некоторая плотность). Если захотим написать КМ-уравнение Шредингера (при таком гамильтониане запросто, одночастичное состояние не смешивается с другим числом частиц), то надо брать именно энергию, а не плотность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение26.01.2013, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я не спорю. Но написать энергию как интеграл ТЭИ по space, и назвать гамильтонианом - нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистская квантовая теория
Сообщение27.01.2013, 00:36 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Munin в сообщении #676573 писал(а):
Но написать энергию как интеграл ТЭИ по space, и назвать гамильтонианом - нельзя?



Ну почему же нельзя? Можно. И даже нужно :-) Нельзя забывать проинтегрировать :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 151 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 11  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group