2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Properties of harmonic function
Сообщение27.02.2007, 18:37 


17/04/06
256
Let$S \in \mathbb{R}$ be a square and u a continuous harmonic function on $\bar{S}$. Show that the average of u over the perimeter of S is equal to
the average of u over the union of two diagonals.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
I'm too lazy to work out a good solution... We can assume that $S=[-1,1]^2$ and $u(x,y)=u(y,-x)$ (otherwise take the symmetrisation of it; the "mean-value" fact for the initial function will follow easily from the one for the symmetrised function). Denote $v$ the harmonic conjugate of $u$ (Of course, v. Integrate $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ along the contour consisting of diagonal $d$ going from $[-1,-1]$ to $[1,1]$, side $-a$ going from $[1,1]$ to $[1,-1]$ and side $-b$ going from $[1,-1]$ to $[-1,-1]$. (Let $mv_A(g)$ denote the mean value of a function $g$ on a line $A$.) We obtain $\frac 12 mv_d(u+v) = mv_a(u)+mv_b(v), \frac 12mv_d(u-v) = mv_a(-v)+mv_b(u), now add these and use that $v(x,y)=v(-y,x)$ (because $f(iz)$ is analytic). I think I wrote too much for this problem. I should stop here.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2007, 00:33 


17/04/06
256
Thank you very much for the reply. I almost understood what you wrote, except this piece:

We obtain $\frac 12 mv_d(u+v) = mv_a(u)+mv_b(v), \frac 12mv_d(u-v) = mv_a(-v)+mv_b(u),

How do we obtain the above? Comparing real and imaginary part in simple fasion does not help. ;-(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group