2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать, что функция - константа.
Сообщение23.11.2012, 21:26 


18/11/12
77
Довольно интересная задача: требуется доказать, что непрерывная функция на всей прямой, имеющая в каждой точке экстремум, является постоянной. С виду кажется легкой, но быстро не дается. К слову, случай, когда в каждой точке максимум, или же минимум (локальный) - доказан, и если для общего случая эти понадобятся, то я могу написать решение. Но как быть с общим не очень понятно. Дадите подсказку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция - константа.
Сообщение23.11.2012, 21:28 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Как мы вычисляем локальные экстремумы непрерывной функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция - константа.
Сообщение23.11.2012, 21:35 


18/11/12
77
Точка экстремума - в некоторой окрестности которой все значения функции нестрого больше (меньше). Но что значит вычислить? Если Вы про производную, то во-первых про дифференцируемость ничего не сказано, да и вообще нуль производной бывает далеко не только в экстремумах. И по-хорошему эту задачу надо решить без них.
Пока ничего больше насчет вычисления экстремумов не пришло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция - константа.
Сообщение23.11.2012, 21:50 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Sul в сообщении #648699 писал(а):
Если Вы про производную, то во-первых про дифференцируемость ничего не сказано
Да, тогда я ошибаюсь. :-(

Sul в сообщении #648699 писал(а):
нуль производной бывает далеко не только в экстремумах.
Это как раз не проблема, если предполагать дифференцируемость. Но уже ладно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция - константа.
Сообщение23.11.2012, 22:06 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Мне кажется, что здесь сработает определение экстремума: значение в точке не превосходит значения в некоторой окрестности, либо не меньше значения в точке. И еще как-то нужно прицепить локальное свойство сохранения знака,используя доказательство от противного. Попробуйте; я, конечно, не пробовал этот метод, но должно выйти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция - константа.
Сообщение23.11.2012, 22:08 


18/11/12
77
Быть может, кого-то на правильные мысли натолкнет разбор случая, когда у нас в каждой точке максимум, так что я напишу его разбор: Итак, пусть в каждой точке на некотором отрезке у непрерывной функции достигается локальный максимум. Функция, непрерывная на отрезке, достигает своей точной верхней и нижней грани множества значений. Тогда рассмотрим точку из отрезка, в которой достигается глобальный минимум. Это означает, что на самом деле в любой точке отрезка значения функции будут нестрого больше. Но так как она по условию локальный максимум, то в некоторой окрестности, пересеченной с заданным отрезком, все значения функции нестрого меньше. Отсюда следует, что в некоторой окрестности, пересеченной с отрезком, все значения функции равны глобальному минимуму.
Несложно доказать, что множество всех точек, в которых непрерывная функция равна заданному числу является замкнутым. В нашем же случае это множество будет замкнутым лишь тогда, когда отрезок полностью содержится в нашей окрестности (иначе оно может быть открытым или вообще полуинтервалом). Отсюда следует, что на всем отрезке значения функции равны глобальному минимуму, то есть константе.

Для локальных минимумов - аналогично. А вот как их совместить?

-- 23.11.2012, 23:03 --

По факту единственный случай для разбора: когда все точки, в которых достигается глобальный максимум являются точками локального максимума, и все точки, в которых достигается глобальный минимум являются точками локального минимума

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция - константа.
Сообщение24.11.2012, 11:00 


18/11/12
77
Пока никаких продвижений...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция - константа.
Сообщение24.11.2012, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Sul в сообщении #648691 писал(а):
имеющая в каждой точке экстремум

докажите в лоб, что функция локально постоянна

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция - константа.
Сообщение24.11.2012, 12:24 


07/03/12
99
Вся вещественная ось разбивается на два множества: А - локальных максимумов и В - локальных минимумов.
Каждой точке из А соответствует окрестность с рациональными концами, где она, эта точка, дает максимум. Если двум точкам из А соответствует одна окрестность, то в этих точках значения одинаковы.
Вывод: данная функция имеет не более чем счетное множество значений. Она не может быть непрерывной, если имеет хотя бы два различных значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция - константа.
Сообщение24.11.2012, 16:01 


07/03/12
99
muzeum в сообщении #648853 писал(а):
Вся вещественная ось разбивается на два множества: А - локальных максимумов и В - локальных минимумов.
Каждой точке из А соответствует окрестность с рациональными концами, где она, эта точка, дает максимум. Если двум точкам из А соответствует одна окрестность, то в этих точках значения одинаковы.
Вывод: данная функция имеет не более чем счетное множество значений. Она не может быть непрерывной, если имеет хотя бы два различных значения.


Слово "разбивается" не очень удачно. Имеется ввиду - является объединением двух множеств. А далее доказывается, что образ каждого из множеств не более чем счетен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция - константа.
Сообщение24.11.2012, 17:20 


18/11/12
77
Я сегодня узнал решение, и Ваше действительно очень похоже на правду, потому что сегодня мне пытались доказать более сильный факт: множество значений любой функции в точках экстремума не более, чем счетно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group