2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Все корни уравнения tg z = z - вещественные?
Сообщение25.02.2007, 12:56 


24/09/06
26
Здравствуйте! Такая задачка: доказать, что все корни уравнения $\tg z - z=0$ вещественные.
У функции $\tg z$ особые точки - только полюса в точках $z=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb{Z}$. Во-первых, докажем ограниченность тангенса вне некоторой окрестности полюсов, т.е. функция $tg z$ ограничена в $D=\mathbb{C}\setminus\left(\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}B(\varepsilon, \frac{\pi}{2}+\pi k)\right)$, где $B(\varepsilon, \frac{\pi}{2}+\pi k)$ - замкнутый круг радиуса $\varepsilon$ с центром в точке $\frac{\pi}{2}+\pi k$.
Т.к. $1+\tg^2z=\frac{1}{\cos^2z}$, то достаточно доказать ограниченность $\frac{1}{\cos z}$ в нашей области $D$.
Пользуясь периодичностью косинуса, достаточно доказать ограниченностю косинуса для $-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}$.
Но $\left|\frac{1}{\cos z}\right|=\left|\frac{1}{\cos (x+iy)}\right|=\left|\frac{2}{e^{x+iy}+e^{-x-iy}}\right|\le \left|\frac{2}{e^x+e^{-x}}\right|\le \frac{2}{e^{\pi/2}-e^{-\pi/2}}=:C$.
Следовательно, функция $\tg z$ ограничена в $D$ и для $n>C$ выполняется $|\tg z|<|z|$ на границе круга радиуса $\pi n$; Тогда можно применить теорему Руше для области $D$:
$$
\mbox{количество нулей}(\tg z-z)=\mbox{количество нулей}(-z) = 1 
$$

Но в вывод кажется странным, т.к., по-моему, это уравнние имеет более чем одно (нулевое) решение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2007, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Цитата:
....Т.к. $1+\tg^2z=\frac{1}{\cos^2z}$, то достаточно доказать ограниченность $\frac{1}{\cos z}$ в нашей области $D$.
Пользуясь периодичностью косинуса, достаточно доказать ограниченностю косинуса для $-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}$.
Но $\left|\frac{1}{\cos z}\right|=\left|\frac{1}{\cos (x+iy)}\right|=\left|\frac{2}{e^{x+iy}+e^{-x-iy}}\right|\le \left|\frac{2}{e^x+e^{-x}}\right|\le \frac{2}{e^{\pi/2}-e^{-\pi/2}}=:C$.
Следовательно, функция $\tg z$ ограничена в $D$ и для $n>C$ выполняется $|\tg z|<|z|$ на границе круга радиуса $\pi n$; Тогда можно применить теорему Руше для области $D$:
$$ \mbox{количество нулей}(\tg z-z)=\mbox{количество нулей}(-z) = 1 $$

Для начала, у Вас ошибка в определении cos z (не считая других ошибок)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2007, 03:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Tuzembobel
Теорема Руше здесь неприменима. А вот принцип аргумента в данном случае отлично работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество корней уравнения tg z = z
Сообщение26.02.2007, 20:38 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Tuzembobel писал(а):
Здравствуйте! Такая задачка: доказать, что все корни уравнения $\tg z - z=0$ вещественные.
У функции $\tg z$ особые точки - только полюса в точках $z=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb{Z}$. Во-первых, докажем ограниченность тангенса вне некоторой окрестности полюсов, т.е. функция $tg z$ ограничена в $D=\mathbb{C}\setminus\left(\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}B(\varepsilon, \frac{\pi}{2}+\pi k)\right)$, где $B(\varepsilon, \frac{\pi}{2}+\pi k)$ - замкнутый круг радиуса $\varepsilon$ с центром в точке $\frac{\pi}{2}+\pi k$.
Т.к. $1+\tg^2z=\frac{1}{\cos^2z}$, то достаточно доказать ограниченность $\frac{1}{\cos z}$ в нашей области $D$.
Пользуясь периодичностью косинуса, достаточно доказать ограниченностю косинуса для $-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}$.
Но $\left|\frac{1}{\cos z}\right|=\left|\frac{1}{\cos (x+iy)}\right|=\left|\frac{2}{e^{x+iy}+e^{-x-iy}}\right|\le \left|\frac{2}{e^x+e^{-x}}\right|\le \frac{2}{e^{\pi/2}-e^{-\pi/2}}=:C$.
Следовательно, функция $\tg z$ ограничена в $D$ и для $n>C$ выполняется $|\tg z|<|z|$ на границе круга радиуса $\pi n$; Тогда можно применить теорему Руше для области $D$:
$$
\mbox{количество нулей}(\tg z-z)=\mbox{количество нулей}(-z) = 1 
$$

Но в вывод кажется странным, т.к., по-моему, это уравнние имеет более чем одно (нулевое) решение

Во-первых, оценка $\frac{1}{\cos z}$ на границе области $D$ сделана неверно (как минимум, она должна зависеть от $\varepsilon$ и стремиться к бесконечности при $\varepsilon\to 0$). Вы не учли, что границы кругов $B(\varepsilon, \frac{\pi}{2}+\pi k)$ также являются частью границы области $D$.

Во-вторых, вывод не кажется странным, так как остальные корни уравнения $\tg z = z$ (кроме корня $z=0$) попадают как раз внутрь тех самых "маленьких кружочков" $B(\varepsilon, \frac{\pi}{2}+\pi k)$.

Добавлено спустя 15 минут 12 секунд:

RIP
На самом деле теорема Руше здесь применима, но не "в лоб".
Действительно, можно показать, что если $\Gamma_n$ - это контур, состоящий из отрезков прямых $x=\pm \pi n$, $y=\pm \pi n$ (т.е. квадрат со стороной $2\pi n$ и центром в нуле), то на этом контуре
$$|\tg z|\biggl|_{z\in\Gamma_n}<2$$.
Поэтому при любом натуральном $n$ выполняется

$$|\tg z|\biggl|_{z\in\Gamma_n}<|z|\biggl|_{z\in\Gamma_n}$$.

Но сразу теперь применять теорему Руше нельзя, поскольку функция $f(z)=\tg z$ не аналитична внутри контура $\Gamma_n$. Однако если мы напишем следствие этого неравенства:

$$|\sin z|\biggl|_{z\in\Gamma_n}<|z\cos z|\biggl|_{z\in\Gamma_n}$$, то теперь теорему Руше можно смело применять, т.к. обе функции теперь уже аналитичны внутри $\Gamma_n$. Тогда получим, что уравнение $\sin z-z\cos z=0$ имеет столько же корней внутри контура, сколько и уравнение $z\cos z=0$ (столько же решений будет иметь и уравнение $\tg z=z$), а именно $2n+1$ штук.

Для завершения доказательства того, что все корни уравнения $\tg z = z$ вещественны, осталось лишь заметить, что уравнение $\tg x = x\quad (x\in\mathbb{R})$ тоже имеет $2n+1$ корней на отрезке $[-\pi n,\pi n]$ (с учетом кратности: корень $z=0$ имеет кратность 3, остальные $2n-2$ корней имеют кратность 1). Это можно посмотреть, например, по рисунку.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group