2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 21:56 


22/05/09

685
Пусть:
1)$X, \ Y$ - произвольные непустые множества;
2) $f \subset X \times Y$ - некоторое бинарное отношение.
Бинарное отношение $f$ называется отображением, определённым на множестве $X$ со значениями во множестве $Y$, если $\forall x \in X$ $\exists ! y \in Y$ такой, что $(x,y) \in f$.
Корректно ли данное определение? Если нет, то почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 22:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А почему бы и нет?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 22:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Mitrius_Math в сообщении #647220 писал(а):
$f \in X \times Y$
$f \subset X \times Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 22:24 


22/05/09

685
Поясню. Во многих учебниках отображение определяется так. Говорят, что на множестве $X$ определено отображение $f$ cо значениями во множестве $Y$, если для любого элемента $x$ из множества $X$ по некоторому закону найдётся единственный элемент $y$ множества $Y$. Иногда словосочетание, выделенное жирным шрифтом, вовсе отсутствует. Отсюда два вопроса. Первый (если упомянутое словосочетание имеется в определении). Что такое закон? Второй (если этих слов в определении нет). Мы говорим, что для такого-то элемента множества $X$ найдётся единственный элемент множества $Y$. Но как именно он найдётся?

-- Вт ноя 20, 2012 23:26:47 --

arseniiv в сообщении #647241 писал(а):
Mitrius_Math в сообщении #647220 писал(а):
$f \in X \times Y$
$f \subset X \times Y$.


Спасибо, я опечатался. Исправил. Речь идёт именно о подмножестве декартова произведения множеств $X$ и $Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 22:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Mitrius_Math в сообщении #647244 писал(а):
если для любого элемента $x$ из множества $X$ по некоторому закону

"Закон" -- это всего лишь лирика, на языке декартовых произведений она излишня.

Mitrius_Math в сообщении #647244 писал(а):
Но как именно он найдётся?

Неважно как: то ли он найдётся -- то ли нет. Т.е. то ли он существует -- то ли не существует. В последнем случае отображение попросту задано не на всём Иксе.

(Оффтоп)

так и напрашивается мысль: где ж ты, Профессор; на кого ты нас оставил ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 22:41 


22/05/09

685
ewert в сообщении #647251 писал(а):
"Закон" -- это всего лишь лирика, на языке декартовых произведений она излишня.


Я об этом и говорю. Мне больше нравится то определение, что приведено в заглавном сообщении темы. Можно ли его использовать? Мне оно кажется более точным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 22:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Нормальное определение. Ничуть не хуже того, лиричного. Но и лиричное тоже вполне сойдёт -- если мы не собираемся упираться рогом в дискретку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 22:48 


22/05/09

685
ewert в сообщении #647260 писал(а):
Но и лиричное тоже вполне сойдёт


Мне не нравится слово "закон" в том определении.

-- Вт ноя 20, 2012 23:49:35 --

ewert в сообщении #647260 писал(а):
если мы не собираемся упираться рогом в дискретку


Что Вы имеете в виду?
По-моему, тут всё просто. Бинарное отношение есть произвольное подмножество декартова произведения двух множеств (подмножество множества всех упорядоченных пар).

-- Вт ноя 20, 2012 23:52:10 --

(Оффтоп)

ewert в сообщении #647251 писал(а):
так и напрашивается мысль: где ж ты, Профессор; на кого ты нас оставил ...


Эх... Прочитал и сначала не поверил. Он был очень заметным участником форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 22:53 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Можно, конечно. (А то, с законом, оно вообще никуда не годится, но это всего лишь моё мнение. Кто-то скажет, что на естественном языке оно понятнее.)

-- Ср ноя 21, 2012 01:55:10 --

А при построении всего из множеств по-другому определить и не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 22:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Mitrius_Math в сообщении #647262 писал(а):
По-моему, тут всё просто.

Всё, всё просто. Только людям, не привычным к избыточным абстракциям, слово "закон" милее сердцу, чем какое-то там декартово произведение. И это вовсе не означает, что они тупари и в математике ни бум-бум; а означает лишь, что из математики они предпочитают выбирать то, что ближе к их профессиональным интересам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 22:57 


22/05/09

685
arseniiv в сообщении #647266 писал(а):
А при построении всего из множеств по-другому определить и не получится.


arseniiv, мне именно это и нужно: ввести множества (на наивном уровне), операции с ними, а затем отображения множеств.

-- Вт ноя 20, 2012 23:58:59 --

ewert в сообщении #647269 писал(а):
Только людям, не привычным к избыточным абстракциям, слово "закон" милее сердцу, чем какое-то там декартово произведение.


ewert, я понимаю. Мне то определение с законом тоже когда-то было ближе, наличие слова закон (правило и проч.) меня ничуть не смущало. Теперь же кажется, что это не достаточно строго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 23:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Mitrius_Math в сообщении #647262 писал(а):
Он был очень заметным участником форума.

О да. И хотя я последнее время с ним практически и не ругался -- даже сама мысль о том, что при случае можно переругнуться, грела душу.

Странный эффект. Вроде и общались мы с ним лишь в виртуале, и общались редко; а вот -- исчез человек, и какая-то пустота. И понадобится определённое время, чтобы эту пустоту заполнить. А ведь кто-то из мемберов тут (даже, кажется, и заслуженных) пытался причислить его к троллям...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 23:16 


22/05/09

685

(Оффтоп)

ewert в сообщении #647281 писал(а):
Странный эффект. Вроде и общались мы с ним лишь в виртуале, и общались редко; а вот -- исчез человек, и какая-то пустота. И понадобится определённое время, чтобы эту пустоту заполнить.


Когда-то сидел на одном научном форуме, и там умер участник, тоже активный и заметный. Были аналогичные чувства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
ewert в сообщении #647281 писал(а):
А ведь кто-то из мемберов тут (даже, кажется, и заслуженных) пытался причислить его к троллям...

К вашим услугам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение отображения
Сообщение20.11.2012, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Mitrius_Math в сообщении #647244 писал(а):
по некоторому закону



означает лишь, что тот $y$, который мы поставили в соответствие конкретному $x$ сегодня, будет таким же, как и завтра)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group