2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение13.11.2012, 20:48 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
Помогите, пожалуйста, разобраться.


$P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nP_n(x_k)l_{nk}(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;l_{nk}(x) = { \prod_{i=0,\,i \ne k}^n {(x - x_i) \over  (x_k- x_i)}}$


Доказать, что если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$


Есть предположение выбрать какие-нибудь точки на $[a,b]$ такие, что $x_o\leqslant x_1.....\leqslant x_m$

А что делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение13.11.2012, 21:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6594
Что происходит при увеличении $n$? Добавляются точки интерполяции? Произвольно? Почему степень многочленов ограничена сверху? Может Вы словами поясните условие, а то из формул ничего не понятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение13.11.2012, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Думаю, что часть со слова "Доказать" имеет самостоятельную ценность. А всё остальное - просто так, для красоты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение13.11.2012, 21:54 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
ИСН в сообщении #644220 писал(а):
Думаю, что часть со слова "Доказать" имеет самостоятельную ценность. А всё остальное - просто так, для красоты.


ДА, остальное, чтобы понять - о чем разговор=)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение13.11.2012, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
А как же теорема Вейерштрасса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 08:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
freedom_of_heart в сообщении #644187 писал(а):
Доказать, что если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$
Степень многочленов в последовательности неограниченно растет или не превосходит $m$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 12:53 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ИСН в сообщении #644220 писал(а):
А всё остальное - просто так, для красоты.
Причём красоты не нужной и только отвлекающей в данном случае. Утверждение
freedom_of_heart в сообщении #644187 писал(а):
если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$
есть просто частный случай довольно очевидного более общего утверждения, на которое и следует сослаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
nnosipov в сообщении #644415 писал(а):
Утверждение
freedom_of_heart в сообщении #644187 писал(а):
если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$
есть просто частный случай довольно очевидного более общего утверждения, на которое и следует сослаться.
Что утверждается в этом утверждении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:21 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Полагаю, что $m$ в этом утверждении фиксировано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
nnosipov в сообщении #644424 писал(а):
Полагаю, что $m$ в этом утверждении фиксировано.
Утверждение какое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:27 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Вы про то, более общее, утверждение спрашиваете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Цитата:
Доказать, что если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$

Вот здесь что именно надо доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Что предельная функция $f$ является многочленом степени не выше $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
nnosipov в сообщении #644433 писал(а):
Что предельная функция $f$ является многочленом степени не выше $m$.

Все утверждение можете расшифровать? Предельная функция является многочленом степени не выше $m$, когда выполняется что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Фиксируем отрезок $[a,b]$ и натуральное $m$. Пусть $P_n(x)$, $n=1,2,\dots$, --- последовательность многочленов, степень каждого из которых не превосходит $m$. Предположим, что $P_n(x)$ равномерно сходится к некоторой функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ при $n \to \infty$. Требуется доказать, что функция $f(x)$ является многочленом степени не выше $m$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group