2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как определить, является ли многочлен квадратом другого м-на
Сообщение20.02.2007, 17:00 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Как по многочлену определить, является ли он квадратом другого многочлена?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.02.2007, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Мобыть, скрестить его с производной от него же - и истина откроется?

Добавлено спустя 1 минуту 20 секунд:

Чёрт; вообще говоря, нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.02.2007, 17:52 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть задан $P(x)=a(x-x_1)^{k_1}...(x-x_m)^{k_m}$ разложение на неприводимые. Найдём НОД этого многочлена с производной $S(x)=GCD(P(x),P'(x))=a(x-x_1)^{k_1-1}...(x-x_m)^{k_m-1}$ и вычислим $R(x)=P(x)/S(x)=(x-x_1)...(x-x_k)$. Отметим, что для этих операций не требуется разложение на множителей (это приведено только для демонстрации). Если многочлен P(x) квадрат, то P(x) должен делится на квадрат R(x). Отношение обозначим через P1(x), который так же должен быть квадратом, который привродится аналогично к P2(x) и т.д.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.02.2007, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Алгоритм Руста будет работать долго, если $m$ мало, поэтому предлагаю небольшую модификацию.
Делим $P(x)$ на наибольшую возможную степень $R(x)$. Если эта степень нечетна, то сразу стоп. Если же четна, то делаем то же самое для частного итд.
Думаю, что можно еще эффективнее.
Например, можно искать НОД частного и $R(x).$ Это сразу дает $R_1(x)$ для частного (без вычисления $S_1(x)$ и последующего деления) Но это имеет смысл делать, если степень частного больше степени $R(x)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2007, 11:41 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Все это хорошо и эффективно. Но мне хотелось бы найти условие (в виде каких-то уравнений) на коэффициенты исходного многочлена. Или это невозможно?

Я хочу сделать в P(x) подстановку x(t)=A*exp(at)+B*exp(bt)+...+C*exp(ct), подобрав A,B,...,C,a,b...,c так, чтобы получился квадрат некоторой другой линейной комбинации экспонент.
И тогда можно было бы рационализировать, например, эллиптический интеграл.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group