2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 14:13 


03/02/12

530
Новочеркасск
Кстати, легко показать, что если есть гипотетические решения для кубического УФ
$x^3+y^3=(y+a)^3$, то не существует примитивных троек, например, для $a=2$. Видимо, можно доказать это и для любого $a$. Таким образом, доказав отсутствие решений для разности соседних кубов, автоматически будет доказано и для общего утверждения для кубов.

Опять же - как минимум, для а=2 справедливо для всех простых степеней...

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
alexo2 в сообщении #754930 писал(а):
Кстати, легко показать, что если есть гипотетические решения для кубического УФ
$x^3+y^3=(y+a)^3$, то не существует примитивных троек, например, для $a=2$. Видимо, можно доказать это и для любого $a$. Таким образом, доказав отсутствие решений для разности соседних кубов, автоматически будет доказано и для общего утверждения для кубов.

Опять же - как минимум, для а=2 справедливо для всех простых степеней...


Не обижайтесь, но по-прежнему не верю.
Приведите Ваше легкое показательство

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 18:57 


03/02/12

530
Новочеркасск

(Оффтоп)

Какие обиды, тем более на Вас?..


Для кубов и $a=2$:

Разность любых кубов в данном случае всегда равна:
$2+6b^2$
То есть, всегда найдется такое $b$.
Если представить, что в каком-то случае это будет куб некоего числа, то понятно, что так как число четное, то оно должно делиться на 8.
При $b$ - четном, остаток от деления всегда равен 2. При нечетном же - получается ряд значений разности соседних кубов (1, 7, 19, 37 и т.д.)...

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 19:15 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Если $x^3+y^3=(y+2)^3$, то $x$ и $y$ должны быть чётными. Сократив всё на $8$, получим уравнение $X^3+Y^3=(Y+1)^3$. Так что случай $a=2$ эквивалентен случаю $a=1$ и потому неинтересен.

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 19:21 


03/02/12

530
Новочеркасск
nnosipov в сообщении #754988 писал(а):
Если $x^3+y^3=(y+2)^3$, то $x$ и $y$ должны быть чётными.


Честно говоря не понял как это у Вас сразу следует..
Ну, да ладно.. Можно тоже самое "проделать" и для a=3...
Или это тоже не интересно?..

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 19:35 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alexo2 в сообщении #754990 писал(а):
Честно говоря не понял как это у Вас сразу следует..
Просто решаем сравнение $x^3+y^3 \equiv (y+2)^3 \pmod{4}$. Это за Вас сделает любая система компьютерной алгебры.
alexo2 в сообщении #754990 писал(а):
Или это тоже не интересно?
Тоже неинтересно, по той же причине.

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 19:38 


03/02/12

530
Новочеркасск
А также, насколько я понимаю, неинтересны случаи, где a - любое простое (по той же причине).
Поэтому ранее я и утверждал, что достаточно доказать для разности соседних степеней.

-- 15.08.2013, 21:16 --

А не следует ли отсюда "автоматически", что, например,
случай с суммой соседних кубов не имеет решений?..

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
alexo2 в сообщении #755000 писал(а):
А также, насколько я понимаю, неинтересны случаи, где a - любое простое (по той же причине).


станет неинтересно, когда будет доказано

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 20:49 


03/02/12

530
Новочеркасск
shwedka в сообщении #755020 писал(а):
станет неинтересно, когда будет доказано


Я потому и постарался назвать аккуратно - "показать". Но для а = 2, 3, 4 и 6 Вы согласны, что доказано, что не существует решений со взаимнопростыми основаниями?..

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 20:51 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alexo2, возьмите $a=9$, это интересно. А любое $a$, не кратное $9$, неинтересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 20:58 


03/02/12

530
Новочеркасск
Совсем запутался - но, ведь, все простые а не кратны 9 "по определению"..
Так "интересны" эти случаи или нет? Shwedka говорит, что "не неинтересны".

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 21:06 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Но почему рассматривать только простые $a$? Пусть $a$ --- любое натуральное. Так вот, оно будет интересно, если равно единицы или степени тройки с показателем $\geqslant 2$. Во всяком случае, рассмотрение всех остальных $a$ может быть сведено к рассмотрению этих. Вот поэтому они и интересны.

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 21:10 


03/02/12

530
Новочеркасск
nnosipov в сообщении #755028 писал(а):
Но почему рассматривать только простые $a$? Пусть $a$ --- любое натуральное. Так вот, оно будет интересно, если равно единицы или степени тройки с показателем $\geqslant 2$. Во всяком случае, рассмотрение всех остальных $a$ может быть сведено к рассмотрению этих. Вот поэтому они и интересны.


Ага, кажется начинаю понимать..
Ладно, подумаем над случаем а=9...

-- 15.08.2013, 22:19 --

Ну, по крайней мере, сразу "навскидку" - опять та же история - разности кубов с основаниями отличными на 9 кратны $9^3$ только когда основания кратны 9-ти... И естественно, после деления и получаются разности сосдних кубов.
А.. они и не "обязаны" делиться на 729!.. Да, тут уже не так просто как с простыми а...

-- 15.08.2013, 22:37 --

В любом случае, при $a=9$ разность "обязана" делиться на 27. После чего приходим к случаю с мЕньшим а (как бы уже доказанному ранее)...

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
alexo2 в сообщении #755026 писал(а):
Совсем запутался - но, ведь, все простые а не кратны 9 "по определению"..
Так "интересны" эти случаи или нет? Shwedka говорит, что "не неинтересны".

shwedka этого не говорит.

 Профиль  
                  
 
 Re: И вновь о соседних кубах...
Сообщение15.08.2013, 21:48 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alexo2 в сообщении #755029 писал(а):
В любом случае, при $a=9$ разность "обязана" делиться на 27. После чего приходим к случаю с мЕньшим а (как бы уже доказанному ранее)...
Пишите подробно, ничего не понял.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 156 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group