Базовое понятие алгебры (алгебраической геометрии)

[Chernoknizhnik]

В алгебре часто встречается такой объект как k-алгебра (где k - поле, судя по контексту). Вопрос мой к вам, уважаемые коллеги, очень прост - что это такое? В частности, с каждым множеством X связывается какая-то k-алгебра (видимо, все отображения X в k, которые складываются и умножаются). Дайте, пожалуйста, точное определения этой штуки. Кроме того, эти самые k-алгебры, видимо, образуют категорию - какие там морфизмы и что значит приведенная k-алгебра? Дело в в том, что в большнстве книжек по алгебраической геометрии эти понятия используются сразу, без предисловий. Буду очень признателен, если посоветуете, где можно об этих понятиях почитать.

[Xaositect]

$k$-алгебра --- это линейное пространство над $k$, снабженное билинейной операцией умножения, дистрибутивной относительно сложения. Обычно требуют ассоциативность умножения, а в Вашем случае, скорее всего, еще и коммутативности. В алгебраической геометрии рассматривается координатное кольцо - множество всех регулярных функций на многообразии. Для аффинных и проективных многообразий над полем $k$ оно будет $k$-алгеброй.

[apriv]

Можно считать, что $k$-алгебра — это просто коммутативное кольцо $R$ вместе с фиксированным морфизмом $k\to R$ (который называется структурным морфизмом). Морфизм $k$-алгебр — это гомоморфизм коммутативных колец, который коммутирует со структурными морфизмами. Иными словами, категория $k$-алгебр — это слайс категории коммутативных колец под $k$. Приведенная $k$-алгебра — это та, в которой нет нильпотентов. Координатное кольцо аффинного алгебраического многообразия над $k$ является конечно порожденной приведенной $k$-алгеброй. Используя антиэквивалентность аффинных схем и коммутативных колец, можно еще сказать, что $k$-алгебра соответствует аффинной схеме $X$ вместе с фиксированным морфизмом $X\to\mathrm{Spec}(k)$, и морфизмы $k$-алгебр соответствуют морфизмам аффинных схем, коммутирующим с этими структурными морфизмами.