2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма белых чисел
Сообщение08.10.2012, 22:50 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Вдоль окружности расставлены белые и чёрные вещественные числа.
Каждое белое число равно сумме обоих своих соседей.
Каждое чёрное число равно среднему арифметическому обоих своих соседей.

Чему может быть равна сумма всех белых чисел?
(найти все возможные варианты и доказать, что других нет)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение08.10.2012, 23:17 


05/09/12
2587
Если числа расставлены подряд и по очереди (что не сказано в условии, и может не иметься в виду), тогда нас получается система линейных уравнений, которая однозначно определяет все числа, если конечно матрица не сингулярна (а она судя по всему хорошая). Тривиальное решение - каждое число равно нулю, сумма всех равна нулю. Если числа расставлены как угодно, то продолжаем думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение08.10.2012, 23:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
_Ivana в сообщении #628634 писал(а):
Если числа расставлены подряд и по очереди (что не сказано в условии...

Вот именно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 00:04 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Белые числа чередуются с чёрными? Или они тусуются в полном беспорядке? Количество точек (чисел) произвольно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 00:07 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Aritaborian в сообщении #628648 писал(а):
Белые числа чередуются с чёрными? Или они тусуются в полном беспорядке? Количество точек (чисел) произвольно?

Таки тусуются. Ксюжжко -- супертусовщица
Число чисел произвольно (но обязательно натурально :wink: ), но есть хотя бы одно белое и хотя бы одно чёрное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 07:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Сумма белых равна удвоенной сумме белых минус сумма граничных белых плюс сумма граничных черных.
Сумма черных равна сумме черных минус полусумма граничных черных плюс полусумма граничных белых.

Поэтому сумма белых равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 09:22 


05/10/10
71
а есть нетривиальный пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 09:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Naf2000 в сообщении #628708 писал(а):
а есть нетривиальный пример?

Цепочка из $+1$, затем $0$, затем цепочка из $-1$, затем $0$ и т.д.

Или так: $-1, +1, +3, +2, -1, -4, -3, -2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 13:12 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
TOTAL в сообщении #628695 писал(а):
Сумма белых равна удвоенной сумме белых минус сумма граничных белых плюс сумма граничных черных.
Сумма черных равна сумме черных минус полусумма граничных черных плюс полусумма граничных белых.

Поэтому сумма белых равна нулю.

Не совсем понятно, что Вы подразумеваете под "граничными белыми".

Вот моё решение (возможно, ошиблась):

Обозначим сумму чисел, у которых оба соседа белые, через А.
Обозначим сумму чисел, у которых оба соседа разного цвета, через В.
Обозначим сумму чисел, у которых оба соседа чёрные, через С.

Тогда сумма белых чисел равна 2А+В.
А сумма всех чисел равна А+В+С. А также она равна 2А+1,5В+С, из чего следует, что А+0,5В=0. Умножая на 2, имеем 2А+В=0, но это и есть сумма белых чисел.
*Данный способ не охватывает случай, когда у нас ровно два числа -- одно чёрное и одно белое. Но там всё очевидно -- белое равно удвоенному чёрному, а чёрное равно белому. Таким образом, белое равно удвоенному самому себе, сиречь, нулю.
Ответ: 0

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Ktina в сообщении #628743 писал(а):
Не совсем понятно, что Вы подразумеваете под "граничными белыми".
Если справа от белого стоит черное, то белое - граничное. Если слева от белого стоит черное, то белое - снова граничное. (Т.е. одиночное белое считается дважды как граничное.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 15:11 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
TOTAL в сообщении #628772 писал(а):
Ktina в сообщении #628743 писал(а):
Не совсем понятно, что Вы подразумеваете под "граничными белыми".
Если справа от белого стоит черное, то белое - граничное. Если слева от белого стоит черное, то белое - снова граничное. (Т.е. одиночное белое считается дважды как граничное.)

А моё решение верно?
Почему я спрашиваю, потому что авторское решение -- иное:
http://problems.ru/view_problem_details ... ?id=111807

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 15:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Ktina в сообщении #628776 писал(а):
А моё решение верно?

Я его не понял. Например, почему сумма белых чисел равна 2А+В.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 20:32 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
TOTAL в сообщении #628783 писал(а):
Ktina в сообщении #628776 писал(а):
А моё решение верно?

Я его не понял. Например, почему сумма белых чисел равна 2А+В.

Каждое число, у которого оба соседа белые, входит в эту сумму дважды. Каждое число, у которого оба соседа разноцветные, входит в эту сумму единожды. Я не права?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Ktina в сообщении #628876 писал(а):
TOTAL в сообщении #628783 писал(а):
Ktina в сообщении #628776 писал(а):
А моё решение верно?

Я его не понял. Например, почему сумма белых чисел равна 2А+В.

Каждое число, у которого оба соседа белые, входит в эту сумму дважды. Каждое число, у которого оба соседа разноцветные, входит в эту сумму единожды. Я не права?

Например, если цвета чередуются, то сумма белых равна С.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма белых чисел
Сообщение09.10.2012, 20:46 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
TOTAL в сообщении #628883 писал(а):
Например, если цвета чередуются, то сумма белых равна С.

А что мешает в этом случае выполняться равенству С=2А+В?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group