2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Определитель неотрицательной матрицы
Сообщение12.02.2007, 08:31 


11/02/07
8
Что можно сказать о свойствах определителя матрицы вида:
$$
a_{i,j}  \geqslant 1\,\,i \ne j
$$
$$
{a_{i,i}  = 0}
$$

Хотелось бы доказать что определитель всегда ненулевой или опровергнуть это, но никак не выходит. Есть идеи?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2007, 13:03 


24/11/06
451
С помощью элементарных преобразований обнулим в каждой строчке все элементы, кроме одного, выстроив ненулевые элементы, например, так: an1,a12,a23,a34...Применим формулу Лапласа для разложения по последней строке. Тогда алгебраическим дополнением единственного ненулевого в последней строке элемента будет определитель, на главной диагонали которого все элементы отличны от 0, то есть этот определитель, а стало быть и исходный, отличны от 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель неотрицательной матрицы
Сообщение12.02.2007, 13:23 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Truf писал(а):
Что можно сказать о свойствах определителя матрицы вида:
$$
a_{i,j}  \geqslant 1\,\,i \ne j
$$
$$
{a_{i,i}  = 0}
$$

Хотелось бы доказать что определитель всегда ненулевой или опровергнуть это, но никак не выходит. Есть идеи?

При n=1 всегда 0, при n=2 всегда не ноль (точнее <=-1), при n=3 всегда положителен (однако, если выполняется только слабое условие |a(i,j)|>=1, то возможно равенство нулю детерминанта). А при n>=4 это ограничение ничего не даёт. Возможно равенство нулю детерминанта.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2007, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
При n=3 определитель >=2.
При n>3 определитель может быть и отрицательным тоже.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2007, 19:23 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Если все элементы матрицы 1, кроме диагональных, где нули, то определитель равен $(-1)^{n-1}(n-1).$ Здесь n размерность матрицы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 13:07 


11/02/07
8
antbez писал(а):
С помощью элементарных преобразований обнулим в каждой строчке все элементы, кроме одного, выстроив ненулевые элементы, например, так: an1,a12,a23,a34...Применим формулу Лапласа для разложения по последней строке. Тогда алгебраическим дополнением единственного ненулевого в последней строке элемента будет определитель, на главной диагонали которого все элементы отличны от 0, то есть этот определитель, а стало быть и исходный, отличны от 0.


Не верю :)

Цитата:
При n=1 всегда 0, при n=2 всегда не ноль (точнее <=-1), при n=3 всегда положителен


Согласен.

Цитата:
однако, если выполняется только слабое условие |a(i,j)|>=1, то возможно равенство нулю детерминанта


Славо богу они положительны.

Цитата:
А при n>=4 это ограничение ничего не даёт. Возможно равенство нулю детерминанта.


Это то и хочется оспорить. Я в математике слаб (иначе не постил бы) так что поправляйте, если где ошибусь.
1. Определитель равен произведению собственных значений (может с коэффициентом -1 в какойто степени).
2. Сумма собственных значений равна следу матрицы, вмоем случае ноль.
3. Моя матрица описывает связный граф - следовательно она неразложима.
4. Неразложимая неотрицательная матрица всегда имеет одно положительное собственное значение, превосходящее по модулю все остальные. Оно даже как-то высчитывается вроде. (т. Фробениус - Перрона или просто Перрона (точно не помню), сегодня вечером дороюсь до ее сути ).

Так вот что меня смущает: характеристическое уравнение с моими ограничениями на коэффициенты не имеет решения при n=4. Проверял Maple 8.

В Maple писал(а):
A := matrix(4,4, [0,a1,a2,a3, a4,0,a5,a6, a7,a8,0, a9, a10, a11, a12, 0]);
eigenvals(A);
solve({x^4+(-a9*a12-a10*a3-a7*a2-a8*a5-a11*a6-a4*a1)*x^2+(-a4*a8*a2-a11*a5*a9-a7*a3*a12-a7*a1*a5-a10*a1*a6-a4*a11*a3-a8*a6*a12-a10*a2*a9)*x-a7*a1*a6*a12-a10*a1*a5*a9-a4*a11*a2*a9+a7*a11*a2*a6-a7*a11*a3*a5-a4*a8*a3*a12-a10*a8*a2*a6+a4*a1*a9*a12+a10*a8*a3*a5=0, a1>1, a2>1, a3>1, a4>1, a5>1, a6>1, a7>1, a8>1, a9>1, a10>1, a11>1, a12>1});


Т.о определитель при n=4 не нулевой. Это верно?
Проверки при больших n меня не убеждают. Нужно индуктивное утверждение. Просто необходимо учесть, что это не просто матрица с нулевой главной диагональю, а матрица со свойствами 1-4.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Если Ваша матрица возникла из графов, то может Вам лучше перманент подойдёт?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 14:09 


11/02/07
8
bot писал(а):
Если Ваша матрица возникла из графов, то может Вам лучше перманент подойдёт?

Можно ссылку для лекбеза?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Ну я не очень силён в поиске. Попробуйте в Яндексе набрать Перманент, а потом в найденном Граф, или наоборот. Матрица инцидентности - тоже ключевое слово.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 14:35 


11/02/07
8
Развлекался, вычисляя коэффициенты характеристического уравнения методом Леверрье.
http://doors.infor.ru/allsrs/alg/linalg/index2.html#lev
К сожалению, начиная с $$ p_4 $$ в коэффициентах появляются слогаемые разных знаков, а ведь $$ p_{n} $$ был бы определителем. Зато очень красивыми выходят суммы различных степеней собственных значений. И что замечательно - всегда строго больше нуля, даже при нечетных степенях. $$
\sum {\lambda _k  = traceA = 0,\sum {\lambda _k^n  = traceA^n  > 0} } 
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 14:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Берите матрицу 4*4 у которого все элементы 1 кроме диагональной и а(1,4)=4, на диагонали нули. Определитель равен 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 14:59 


11/02/07
8
Руст писал(а):
Берите матрицу 4*4 у которого все элементы 1 кроме диагональной и а(1,4)=4, на диагонали нули. Определитель равен 0.


-6. Не пугайте меня так больше. Иля я матрицу не правильно себе представил.
А в общем случае : -n-2.

Добавлено спустя 10 минут 58 секунд:

Узнал много нового о перманентах. Особенно впечатлили результаты поиска:
Цитата:
Перманент ей не шел, к тому же волосы были безнадежно погублены перекисью.
Ребята, - сказал капитан, - он граф

и
Цитата:
- А что это граф Суворов ничего не ест?
Там алкаши топчутся, кому-то морду уже собираются бить, продавщица с перманентом злобно кидает ему бутылку.


В итоге, на форумах оноружено что
Цитата:
иногда вместо детерминанта считают перманент матрецы - как и детерминант только все миноры складывают


Я полагаю, что для обоснования разрешимости неоднородной СЛАУ он будет бесполезен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Ноль получится, если положить a(1,2)=a(2,1)=4.
Руст, видимо, имел в виду симметричную матрицу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 15:14 


11/02/07
8
Согласен :(. Мне нужно пересмотреть условия, возможно их удастся скорректировать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.02.2007, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Truf писал(а):
Я полагаю, что для обоснования разрешимости неоднородной СЛАУ он будет бесполезен.


Безусловно, только откуда было знать, что он для этого Вам был нужен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group