2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 06:52 


03/02/12

530
Новочеркасск
Для любых целых $a, b$ найдется бесконечное множество таких натуральных $m, n, k, t$, что будет верно одновременное выполнение:

$a + b = c$ и
$a^m + b^n = c^k$, но несвязанное:

$a^m + b^n = a^k + b^t$ - не имеет решений.

Конечно, это справедливо для нетривиальных решений. Честно говоря, проверить по-возможности подбором решений не дошли руки... Где-то была тема (увы, не нашел) что-то типа "Гипотезы форумчан". Если что - переместите, пожалуйста...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 07:49 


23/01/07
3415
Новосибирск

(Оффтоп)

Навевает на мысль переименовать тему "Открытые проблемы форумчан" на более информативную "Гипотезы форумчан".

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 09:32 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Ерунда какая-то
Возьмем $a=1, \; b=2$
Вы утверждаете что равенство
$2^n+1=3^k$
возможно для бесконечного числа $n,k$
Гипотеза Каталана (доказанная 10 лет назад) тихо посмеивается...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 09:47 


03/02/12

530
Новочеркасск
Я же отметил, что без тривиальных вариантов... С ними можно массу решений найти, когда основания равны 0, когда показатели 1 и т.д. и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 09:50 
Заслуженный участник


20/12/10
8858

(Оффтоп)

Cash в сообщении #625044 писал(а):
Гипотеза Каталана (доказанная 10 лет назад) тихо посмеивается...
Не поминайте всуе, решить то уравнение предлагают даже в ЕГЭ-шных сборниках :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 10:10 


03/02/12

530
Новочеркасск
Поправка: "Для любых целых $a, b, c$, имеющих хотя бы один общий множитель..." - далее по тексту.
(А то неувязка с вроде бы как доказанной гипотезой Биля получается)... :?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 10:36 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Хорошо, давайте с общим множителем.
Берем $a=2, \; b = 4$
$2^m+2^{2n}=2^k\cdot3^k$
1.Случай $m=2n$ отметается сразу
2. $m<2n$
$2^m(1+2^{2n-m})=2^k\cdot3^k$
откуда $m=k$ и $1+2^{2n-m} = 3^k$
3. $m>2n$
$2^{2n}(1+2^{m-2n})=2^k\cdot3^k$
откуда $2n=k$ и $1+2^{m-2n} = 3^k$

Бесконечных наборов не наблюдается.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 10:52 


03/02/12

530
Новочеркасск
Понятно.., с такими a, b, c получился тот же "Каталан". Ну, на то это и "гипотеза".
Тогда ещё условие: чтобы $b/a>2$

Вообще-то случай 1, 2, 3 - "однозначно выделяемый" и вполне определенный.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 11:15 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
$a=2, b = 6$
$2^m+6^n=2^{3k}$
Всё те же, только в профиль...

Поймите, решений уравнения гипотезы Биля - их весьма немного.
Вы же смело беретесь утверждать, что их тьма.
Да еще с условием, очень-очень жестким и невесть откуда взявшимся.
Ну надо же от чего-то отталкиваться.
Вы в подтверждение своей гипотезы хотя бы привели пяток решений
$a^m + b^n = c^k$, у которых
$a+b=c$
Сомневаюсь, что сможете больше двух.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 11:26 


03/02/12

530
Новочеркасск
Cash в сообщении #625078 писал(а):
$a=2, b = 6$
$2^m+6^n=2^{3k}$
Всё те же, только в профиль...

Поймите, решений уравнения гипотезы Биля - их весьма немного.
Вы же смело беретесь утверждать, что их тьма.
Да еще с условием, очень-очень жестким и невесть откуда взявшимся.
Ну надо же от чего-то отталкиваться.
Вы в подтверждение своей гипотезы, хотя бы привели пяток решений
$a^m + b^n = c^k$, у которых
$a+b=c$
Сомневаюсь, что сможете больше двух.

Но Вы поймите тоже - "весьма немного" - субъективная оценка. Согласен, для меня, как субъекта, тоже весьма немного, если решений будет 1 на интервале до 100 000. Однако, это все не строгие оценки, не говоря уж про доказательства. Пока же я вижу от Вас док-во того, что мое утверждение неверно для чисел приводимых к 1, 2, 3 в озвученных условиях. (И то, честно говоря Ваши выкладки не проверял - поверил на слово, что Вы правильно пришли к конечным выражениям).
Однако, Вы же не будете отрицать, что далеко не всё можно свести к пресловутому "Каталану"?
Да и хотя бы и так - получится всего лишь, что гипотеза неверна, а будет строго доказано, что это невозможно (или возможно с такими-то ограничениями)..

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 11:35 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Цитата:
Пока же я вижу от Вас док-во того, что мое утверждение неверно для чисел приводимых к 1, 2, 3 в озвученных условиях

У меня не было цели свести к Каталану. Я всего лишь брал первые подходящие под ваши условия числа и показывал, что ваши гипотезы взяты с потолка.
Пока вы не объясните на чем основывается ваша гипотеза (для начала - 5 примеров!)
она всего лишь - громкий пук в лужу.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 11:47 


03/02/12

530
Новочеркасск
Ну, гипотеза для того и гипотеза, чтобы о ней "заявлять". Хотелось бы ещё "погромче", да не получается...
Кстати, признаете, что Вы "громче", если я приведу 5 примеров?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 12:10 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Признаю и себя полным профаном, ничего не понимающим в математике.
И признаю вас гением, возвышающимся над толпой и смотрящим не на поверхность, а в самый корень.
Только приведите.
И да, сформулируйте свою гипотезу так, чтобы с Каталаном в противоречие не входила.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 12:17 


03/02/12

530
Новочеркасск
Да ладно, проехали..., а вот сформулировать надо - это точно. Дело в том, что сейчас я на работе, пишу урывками, а продумать надо достаточно четко. Эту гипотезу я "придумал" пару лет назад, но тогда было ещё больше неопределенности - сама гипотеза Биля не была доказана, с тех пор уже позабывалось многое, хотя тогда условия вроде бы продумывал достаточно четко (как мне казалось).

-- 30.09.2012, 14:03 --

Вот так без "Каталана":

Для любых целых $a, b$, отличных от 2, имеющих общий множитель и не имеющих множителей равных 2 каждое в отдельности, существует бесконечное множество таких натуральных $m, n, k$, при которых совместно выполняется:

1. $a + b = c$
2. $a^m + b^n = c^k$

 Профиль  
                  
 
 Re: "Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"
Сообщение30.09.2012, 13:53 


03/02/12

530
Новочеркасск
Вот, "причесал":

Для любых натуральных нечетных $a, b$, имеющих общий множитель, существует бесконечное множество таких натуральных $m, n, k$, при которых совместно выполняется:

1. $a + b = c$
2. $a^m + b^n = c^k$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group