Непрерывность бинарного отношения

[Mikhail Sokolov]

Извините, я наверное уже утомил вас вопросами. Просто хочется разобраться...

Пусть R - бинарное отношение на декартовом произведении S=[a,b]^2, где [a,b] - интервал действительных чисел.
Одно из определений непрерывности отношения гласит:
R непрерывно, если для любых двух последовательностей $x_k \to x$, $y_k \to y$ из S, таких что x_kRy_k для всех k, имеет место xRy.

Вопрос: существует ли аналог данного определения на языке "эпсилон-сигма" (типа R непрерывна в точке x, y, если для любого положительного эпсилон найдется такое положительное сигма, что...).

[Руст]

Прежде у вас должна быть задана непрерывная структура на S. Только в случае, если непрерывная структура может быть выражена в терминах epsilon-delta можно говорить о выражении вашего определения в этих терминах. Это возможно например в случае, когда S метрическое пространство. Для общих топологий (без сепарабельности) ваше определение думаю некорректно.

[Someone]

Отсутствие сепарабельности не страшно (или имелась в виду аксиома отделимости Хаусдорфа?), а вот то, что топология может не определяться сходящимися последовательностями и даже вообще не иметь нетривиальных сходящихся последовательностей, может помешать.

[Mikhail Sokolov]

Ok, пусть для примера R - бинарное отношение на декартовом произведении S=[a,b]^2, где [a,b] - интервал действительных чисел.

[Руст]

Someone писал(а):

Отсутствие сепарабельности не страшно (или имелась в виду аксиома отделимости Хаусдорфа?), а вот то, что топология может не определяться сходящимися последовательностями и даже вообще не иметь нетривиальных сходящихся последовательностей, может помешать.

Ясно, что автор хотел выразить замкнутость R в S*S. Одними последовательностями это не выразить, если в S имеются точки, не имеющие счётный базис окрестностей. Я имел в виду это. Насколько помнится, это условие, необходимое для выразимости топологии последовательностями, называется первой аксиомой счётности (я перепутал название с сепарабельностью - более сильным условием).

[Someone]

Mikhail Sokolov писал(а):

Ok, пусть для примера R - бинарное отношение на декартовом произведении S=[a,b]^2, где [a,b] - интервал действительных чисел.

Ну так и в чём проблема? На $S=[a,b]^2$ метрика есть, так что определение можно сформулировать обычным образом. А если Вам хочется формулировать его в терминах метрики отрезка $[a,b]$, то это тоже можно.

Добавлено спустя 31 минуту 21 секунду:

Руст писал(а):

Насколько помнится, это условие, необходимое для выразимости топологии последовательностями, называется первой аксиомой счётности (я перепутал название с сепарабельностью - более сильным условием).

Нет, это более общее условие - секвенциальность. Топологическое пространство называется секвенциальным, если в нём множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит пределы всех сходящихся последовательностей своих точек.

Пример секвенциального пространства без первой аксиомы счётности можно описать так.
На плоскости $Oxy$ рассмотрим множество точек $\{(0,0)\}\cup\{(\frac 1n,0):n\in\mathbb N\}\cup\bigcup\limits_{n\in\mathbb N}\{(\frac 1n,\frac 1m):m\in\mathbb N\}$ (начало координат, последовательность на оси $Ox$, сходящаяся к началу координат, и к каждой из точек этой последовательности сходится своя последовательность). Во всех точках, кроме начала координат, сохраним окрестности, которые они наследуют из плоскости. Окрестности точки $(0,0)$ включают все точки вида $(\frac 1n,0)$, кроме конечного числа, и если для некоторого $n\in\mathbb N$ точка $(\frac 1n,0)$ принадлежит рассматриваемой окрестности, то ей принадлежат и все точки $(\frac 1n,\frac 1m)$, кроме конечного числа.

В этом пространстве множество $\{(\frac 1n,\frac 1m):m,n\in\mathbb N\}$ всюду плотно, но не содержит ни одной последовательности, сходящейся к точке $(0,0)$. В то же время топология здесь определяется последовательностями, то есть, пространство секвенциально: сначала присоединяем пределы всех сходящихся последовательностей точек данного множества (это даёт все точки $(\frac 1n,0)$), после чего появляется последовательность, сходящаяся к началу координат.