2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение18.09.2012, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
shau-kote
А чего вы хотите? Объясните толком. В чём смысл векторов? Стрелочки такие, отложенные из начала отсчёта. Ну, по крайней мере, этим образом, унаследованным от школьной геометрии, удобно пользоваться. В чём смысл матриц? У них несколько смыслов, наиболее ходовые - линейное преобразование пространства (например, поворот, сжатие, сдвиг, отражение, проекция, их сочетание), и билинейная форма (обобщение понятия скалярного произведения, двум векторам ставит в соответствие число).

Более глубинного смысла у них нет!

"Глубинный смысл" может проявляться, если вы в будущем, во многих и многих местах математики начнёте встречать отсылки к этим понятиям. Например, алгебру функций действительной переменной можно воспринимать как алгебру векторов. В результате на одно понятие "вектора" у вас будет нанизываться всё больше и больше новых образов и приложений, и вы будете вспоминать по слову "вектор" не один образ, а целый пучок. Но это не "глубинный" смысл, а скорее, "широкий". И его нельзя быстро объяснить, а его надо накопить за годы изучения разных разделов математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение18.09.2012, 23:28 
Аватара пользователя


15/01/12
87
г. Москва
Munin, нет, с самими векторами всё понятно.
Вот с произведениями хуже.
Произведение длин на косинус угла. Понятно, "что", понятно "как", неясно лишь "почему" и "зачем". Почему так? Ведь определение выбиралось не просто так, а исходя из каких-то соображений, в него вкладывался какой-то смысл, нет?
Работа - так это весьма узкий смысл, для одной области физики. Произведение вектора и проекции другого вектора на данный - оставляет больше вопросов, чем даёт ответов.
Ещё хуже с векторным произведением. Расписывать не буду, все по аналогии. :\
Абсолютно аналогично с определителями. У меня не вызывает трудностей матаппарат данной теории, у меня вызывают вопросы её определения. Определитель? Зачем определитель? Почему такой?

Ну вот как-то так в целом дело обстоят. :(

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение18.09.2012, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
shau-kote в сообщении #620799 писал(а):
Произведение вектора и проекции другого вектора на данный - оставляет больше вопросов, чем даёт ответов.

Это, пожалуй, главный образ, нужный для понимания вещей, связанных со скалярным произведением. Он даёт дорожку и к произведению вектора на ковектор, и к произведению в произвольной квадратичной метрике. Представьте, например, что проецирующая плоскость у вас не обязательно нормальна прямой: к каким последствиям это приведёт для математической конструкции?

Какие у вас остаются вопросы?

shau-kote в сообщении #620799 писал(а):
Абсолютно аналогично с определителями. У меня не вызывает трудностей матаппарат данной теории, у меня вызывают вопросы её определения. Определитель? Зачем определитель? Почему такой?

Определитель - это просто $n$-мерный объём, натянутый на $n$ векторов. С учётом ориентации, которая задаёт знак определителя.

"Натянутый" подразумевает аналог параллелограмма или параллелепипеда.

Определитель часто нужен и полезен при взгляде на матрицы как на преобразования. Например, преобразование превращает единичный объём в объём $\operatorname{det}A.$ Если определитель нулевой, то ясно, что объём "сплющили" так, что он превратился в плоскость или линию - короче, меньшую размерность, чем $n.$ Отсюда возникает понятие ранга матрицы. От ненулёвости определителя и от ранга матрицы зависят решения уравнений типа $Ax=b,$ зависят её собственные векторы и значения.

shau-kote в сообщении #620799 писал(а):
Ещё хуже с векторным произведением. Расписывать не буду, все по аналогии. :\

Векторное произведение бывает только в 3-мерном пространстве. Точнее, в $n$-мерном пространстве можно определить "векторное произведение" $n-1$ векторов: это будет площадь $n-1$-мерной площадки, натянутой на них, а вектор перпендикулярный этой площадке, и ориентирован так, что образует с остальными векторами правоориентированную систему. Но на самом деле, такое "векторное произведение" нечасто нужно.

Несколько дальше, у вас могут возникнуть операции с наборами векторов и родственными им объектами: тензорами, внешними формами. Тогда понятия "площадки", "объёма" обретут более конкретный смысл. В этих понятиях, выяснится, что векторное произведение - на самом деле даже не вектор. Но не обязательно забегать вперёд.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение20.09.2012, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6592
А почему должен быть глубинный смысл у векторного произведения векторов? Допустим мы установим, что векторное произведение как-то связано с произведением кватернионов (с нулевой действительной частью). Это что, поможет нам что-то прояснить? Векторное произведение постоянно применяется в физике и упрощает формулировку законов. Это и объясняет естественность этого понятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение20.09.2012, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну, как раз с векторным произведением "глубинный смысл" есть: это 2-форма в 3-мерном пространстве, и её ходжево сопряжение. На языке 2-форм законы физики формулируются не менее естественно, а иногда даже более, чем на языке векторных произведений.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение20.09.2012, 22:18 
Аватара пользователя


05/01/09
233
Может быть, вам в чем-то поможет онлайн курс Introduction to Mathematical Thinking
https://www.coursera.org/course/maththink

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение20.09.2012, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ха, он платный.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение21.09.2012, 01:55 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Munin в сообщении #621649 писал(а):
Ха, он платный.

Да вроде нет.
http://news.stanford.edu/news/2012/sept ... 90712.html

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение21.09.2012, 11:05 
Заблокирован


18/09/12

45

(Оффтоп)

а на русском есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение21.09.2012, 12:20 


17/02/09
10
Владимир Успенский, "Апология математики".

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение21.09.2012, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #621694 писал(а):
Да вроде нет.

Тогда я не понимаю, в чём смысл sign up.


shau-kote
Чего там с дальнейшими вопросами! Мои пояснения хоть помогли, или это тоже всё не то?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение21.09.2012, 17:42 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ

(Оффтоп)

Munin в сообщении #621853 писал(а):
Тогда я не понимаю, в чём смысл sign up.

Может, ради этого? И просто регистрация для учета числа человеков.
Цитата:
If you finish the course, you will get a Certificate of Completion, and for those who do well on the coursework and the final exam the certificate will indicate Completion with Distinction.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение21.09.2012, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Мдя... Сертификат "умеет думать как математик"... Что-то мне это не кажется серьёзным...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение21.09.2012, 21:04 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Там содержание какое-то неинтересное. Почти полкурса, кажется, логика. Хотя… кто прослушает, не напишете потом где-нибудь?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Глубинный смысл" математических понятий
Сообщение22.09.2012, 00:19 
Аватара пользователя


15/01/12
87
г. Москва
Nemiroff в сообщении #621694 писал(а):

Выглядит очень интересно, но, увы, не думаю, что смогу достаточно быстро это осилить с моим-то знанием английского. :(

Yu/2 в сообщении #621780 писал(а):
Владимир Успенский, "Апология математики".

Наверное, занятная книга, но как я понял из беглого просмотра, конкретные интересующие меня темы там не рассматриваются. Или я чего-то не понял?

Munin в сообщении #621853 писал(а):
Чего там с дальнейшими вопросами! Мои пояснения хоть помогли, или это тоже всё не то?

Кхм. Я искал простой смысл некоторых математических понятий, а Вы выдали мне ещё больше математических понятий. Наверное, с Вашей точки зрения, Вы написали очень понятное объяснение, но не с моей... :\

Munin в сообщении #620803 писал(а):
Векторное произведение бывает только в 3-мерном пространстве. Точнее, в $n$-мерном пространстве можно определить "векторное произведение" $n-1$ векторов: это будет площадь $n-1$-мерной площадки, натянутой на них, а вектор перпендикулярный этой площадке, и ориентирован так, что образует с остальными векторами правоориентированную систему.

Ну как бы это вроде бы и есть его определение. Только "легче" от него не становится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group