2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Эффективное поведение в очереди
Сообщение16.09.2012, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Я продолжу здесь. Я немножко другое имел в виду. Если распределение времени обслуживания каждого посетителя одинаково для данной кассы, то суммарное время работы каждой кассы имеет нормальное распределение, может быит со своими параметрами, так как там суммируются одинаково распределённые СВ. То есть моделировать можно сразу время окончания работы каждой кассы. А поскольку общее время обслуживания определяется по максимальному из всех касс, то имея формулу для матожидания максимума, можно было сразу написать ответ. Но увы, такой формулы не подсказали.
Но Ваши цифры очень убедительны. Время обслуживания с фиксированными очередями будет больше, но коэффициент будет стремиться к единице при уменьшении разброса времени обслуживания и при увеличении количества народа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффективное поведение в очереди
Сообщение16.09.2012, 22:03 


05/09/12
2587
Понял идею, сам думал примерно то же самое. Фактически второй вариант и моделирование по нему укладывается в центральную предельную теорему и дает нам похожее на Гауссовское распределение с известным матожиданием, дисперсию скорее всего тоже несложно найти. Осталось найти матожидание максимума из выборки n элементов. При известных параметрах распределения его, кстати, тоже скорее всего можно посчитать моделированием :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффективное поведение в очереди
Сообщение16.09.2012, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ну да. Меня вот что зацепило. При заданном количестве народа увеличение количества касс с одной стороны уменьшает дисперсию для каждой кассы и увеличивает вероятность "выброса" максимального времени (относительного к среднему, конечно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффективное поведение в очереди
Сообщение17.09.2012, 23:31 


05/09/12
2587
Промоделировал матожидание величины максимума из нескольких значений гауссовского распределения в зависимости от дисперсии, для количества значений $n=3$ сравнил с моим моделированием очередей, результаты предсказуемо совпадают:

$n=3, T=10 :$
$m=30, \sigma=8.197, t_1=61.9631, t_2=55.0227, t_1-t_2=6.9404, \delta_g=6.9412$
$m=60, \sigma=11.5902, t_1=119.8263, t_2=109.9866, t_1-t_2=9.8397, \delta_g=9.825$
$m=120, \sigma=16.4426, t_1=233.9235, t_2=219.9289, t_1-t_2=13.9947, \delta_g=13.8945$
$m=240, \sigma=23.2125, t_1=459.6387, t_2=440.017, t_1-t_2=19.6217, \delta_g=19.5452$
$m=480, \sigma=32.9801, t_1=907.7022, t_2=880.0268, t_1-t_2=27.6754, \delta_g=27.9586$
$m=960, \sigma=46.3483, t_1=1799.4789, t_2=1760.022, t_1-t_2=39.4569, \delta_g=39.3055$

, где $m$ - количество покупателей, $\sigma$ - среднеквадратическое отклонение распределения каждой кассы по числу покупателей $=m/3$ (получено расчетным путем в результате моделирования), $t_1$ и $t_2$ - время обслуживания покупателей по первому и второму варианту соответственно, $\delta_g$ - отклонение от матожидания нормально распределенной случайной величины со среднеквадратическим отклонением $\sigma$ матожидания максимума из трех значений этой величины (получено расчетным путем в результате моделирования).
ЗЫ думал при малом количестве покупателей результаты будут сильнее отличаться, однако нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффективное поведение в очереди
Сообщение18.09.2012, 08:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ну Вы круто: к одной кассе тысяча покупателей. Впрочем, как на футбол. Но там время обслуживания имеет малую дисперсию и ничего неожиданного не произойдёт.
Я вчера решил без всяких теорий поэкспериментировать на практике. В эксели не особо мудря сформировал очереди из рандов, просуммировал, нашёл максимум. Всё так и есть.
Меня вот что заинтересовало. Предположим, есть большое количество народа. Если мы его выстроим к одной кассе, то никакие переходы невозможны и времена обслуживания будут совпадать. Если мы откроем количество касс, равное количеству людей, то переходов тоже не будет и времена будут совпадать. Значит, для данной конфигурации есть оптимальное число касс, когда наш коэффициент будет максимален.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффективное поведение в очереди
Сообщение18.09.2012, 11:46 


05/09/12
2587
Цитата:
Ну Вы круто: к одной кассе тысяча покупателей.
Нет, если считать так, то данные не сойдутся. К одной кассе у нас $m/3$ покупателей, и исходя из этого оценивается её дисперсия.
Цитата:
Значит, для данной конфигурации есть оптимальное число касс, когда наш коэффициент будет максимален.
Какой коэффициент? Отклонения от минимального времени без простоев касс? Мне кажется он монотонно растет с увеличением количества касс. И думаю, даже ограниченность количества народа не остановит его рост. Можно проверить.
UPD хотя дисперсия каждой кассы падает. Тогда скорее всего вы правы, должно быть количество касс, дающее максимум. Опять-таки, можно проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффективное поведение в очереди
Сообщение18.09.2012, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Абсолютное значение отклонения, конечно, растёт. Но относительное падает начиная с какого-то количества касс. Стремится к единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффективное поведение в очереди
Сообщение18.09.2012, 22:20 


05/09/12
2587
Парочка графиков - результатов моделирования
http://s016.radikal.ru/i335/1209/41/984d7f65711e.jpg
http://s42.radikal.ru/i096/1209/bb/a4f1ad13cb49.jpg

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group