2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 19:44 
Заморожен


20/12/10
5623
Munin, Вы какой-то фокус показали, не могу его осознать. Т.е. Вы совсем бесплатно получили такое утверждение: если строки матрицы $B$ линейно независимы, то и столбцы тоже. В своём рассуждении я действительно пользуюсь симметрией ранга по строкам и столбцам (хотя постом выше мне казалось, что нет).

Кажется, дошло. Итак, пусть есть равенство $AB=E$. Оно означает, в частности, что система столбцов матрицы $E$ линейно выражается через систему столбцов матрицы $A$, а значит, последняя --- линейно независима. Домножим равенство $AB=E$ справа на $A$. Получим $AE_1=A$, где $E_1=BA$. Из равенства $AE_1=A$ следует, что система столбцов матрицы $A$ выражается через саму себя при помощи матрицы $E_1$. Но, как мы уже заметили, система столбцов матрицы $A$ линейно независима, поэтому $E_1=E$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
Ой. Я не хотел, честно. А как я его получил, не объясните?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 21:05 
Заморожен


20/12/10
5623
Фокус совершенно честный, что приятно. Равенство $AB=E$ одновременно влечёт и линейную независимость столбцов матрицы $A$, и линейную независимость строк матрицы $B$. Поскольку мы вывели, что и $BA=E$, то теперь по тем же причинам столбцы матрицы $B$ линейно независимы (ну и строки матрицы $A$).

Вот хороший учебник, где я встречал подобные фокусы: Тыртышников, "Матричный анализ и линейная алгебра". Мне такой подход к критерию обратимости матрицы кажется вполне симпатичным и разумным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
А, вот как! То есть речь о том, что матрица действует на пространство векторов-столбцов, когда умножается слева, и та же матрица действует на пространство векторов-строк, когда умножается справа. Я этого не упоминал, но наверное, это действительно близкосвязанное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
DENIS1980 в сообщении #616467 писал(а):
Существуют ли две квадратные матрицы такие, что $AB=E$, но $BA\neq E$?

$AB = E,CA = E \Rightarrow CAB = C = B$
То есть, не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20824
Уфа

(Оффтоп)

Считать ли матрицы из $\mathbb N^2 \to F$ квадратными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Утундрий в сообщении #617097 писал(а):
$AB = E,CA = E \Rightarrow CAB = C = B$
То есть, не существует.

Вы доказали, что если правая и левая обратные существуют, то они совпадают. Это всё же не то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
796
ЦФО, Россия
Утундрий в сообщении #617097 писал(а):
$AB = E,CA = E \Rightarrow CAB = C = B$
То есть, не существует.

Вообще говоря, равенство $CA=E$ надо доказывать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 19:59 
Заморожен


20/12/10
5623
Выше уже довольно подробно обсудили нюансы возможных доказательств. Доказательства будут разные --- в зависимости от того, на какой базовый факт (не требующий доказательства) Вы собираетесь опереться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
796
ЦФО, Россия
nnosipov в сообщении #617123 писал(а):
Доказательства будут разные --- в зависимости от того, на какой базовый факт (не требующий доказательства) Вы собираетесь опереться.

Действительно, если не использовать дополнительные свойства алгебры матриц (свойства определителей, линейную независимость и т.п.), то максимум, что можно извлечь из условий $AB=E$ и $BA\ne E$ - это существование пары ортогональных идемпотентов $E_1=BA$ и $E_2=AB-BA$ по которым алгебра матриц разлагается в прямую сумму двух односторонних идеалов. Отсюда следует, в частности, что должно выполняться условие $BA'\ne E$ (или $B'A\ne E$) для любой матрицы $A'$ (соответственно $B'$). Однако доказать, что $E_1=E$ и $E_2=0$, без привлечения дополнительных условий (читай - свойств алгебры матриц), невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
arseniiv в сообщении #617113 писал(а):
Считать ли матрицы из $\mathbb N^2 \to F$ квадратными?

Думаю, они одновременно квадратные и неквадратные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 20:46 
Злостный тролль-клон Дмитрий Муродьянц. Студент 1 курса МГТУ им. Баумана. Кафедра физики


27/08/12

47
Цитата:
Думаю, они одновременно квадратные и неквадратные.
как так?-закон исключенного третьего не может быть одновременно и истинным и ложным! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
А если так?
$AB = E,BA \ne E \Rightarrow BAB = B,BAB \ne B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 21:01 
Злостный тролль-клон Дмитрий Муродьянц. Студент 1 курса МГТУ им. Баумана. Кафедра физики


27/08/12

47
зачет

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 21:06 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Утундрий в сообщении #617158 писал(а):
А если так?
$AB = E,BA \ne E \Rightarrow BAB = B,BAB \ne B$

Из $BA \neq E$ так прямо не следует, что $BAB \neq B$. Например
$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group