2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 19:44 
Заморожен


20/12/10
5623
Munin, Вы какой-то фокус показали, не могу его осознать. Т.е. Вы совсем бесплатно получили такое утверждение: если строки матрицы $B$ линейно независимы, то и столбцы тоже. В своём рассуждении я действительно пользуюсь симметрией ранга по строкам и столбцам (хотя постом выше мне казалось, что нет).

Кажется, дошло. Итак, пусть есть равенство $AB=E$. Оно означает, в частности, что система столбцов матрицы $E$ линейно выражается через систему столбцов матрицы $A$, а значит, последняя --- линейно независима. Домножим равенство $AB=E$ справа на $A$. Получим $AE_1=A$, где $E_1=BA$. Из равенства $AE_1=A$ следует, что система столбцов матрицы $A$ выражается через саму себя при помощи матрицы $E_1$. Но, как мы уже заметили, система столбцов матрицы $A$ линейно независима, поэтому $E_1=E$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
Ой. Я не хотел, честно. А как я его получил, не объясните?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 21:05 
Заморожен


20/12/10
5623
Фокус совершенно честный, что приятно. Равенство $AB=E$ одновременно влечёт и линейную независимость столбцов матрицы $A$, и линейную независимость строк матрицы $B$. Поскольку мы вывели, что и $BA=E$, то теперь по тем же причинам столбцы матрицы $B$ линейно независимы (ну и строки матрицы $A$).

Вот хороший учебник, где я встречал подобные фокусы: Тыртышников, "Матричный анализ и линейная алгебра". Мне такой подход к критерию обратимости матрицы кажется вполне симпатичным и разумным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
А, вот как! То есть речь о том, что матрица действует на пространство векторов-столбцов, когда умножается слева, и та же матрица действует на пространство векторов-строк, когда умножается справа. Я этого не упоминал, но наверное, это действительно близкосвязанное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
DENIS1980 в сообщении #616467 писал(а):
Существуют ли две квадратные матрицы такие, что $AB=E$, но $BA\neq E$?

$AB = E,CA = E \Rightarrow CAB = C = B$
То есть, не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19137
Уфа

(Оффтоп)

Считать ли матрицы из $\mathbb N^2 \to F$ квадратными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3877
МФТИ ФУПМ
Утундрий в сообщении #617097 писал(а):
$AB = E,CA = E \Rightarrow CAB = C = B$
То есть, не существует.

Вы доказали, что если правая и левая обратные существуют, то они совпадают. Это всё же не то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
789
ЦФО, Россия
Утундрий в сообщении #617097 писал(а):
$AB = E,CA = E \Rightarrow CAB = C = B$
То есть, не существует.

Вообще говоря, равенство $CA=E$ надо доказывать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 19:59 
Заморожен


20/12/10
5623
Выше уже довольно подробно обсудили нюансы возможных доказательств. Доказательства будут разные --- в зависимости от того, на какой базовый факт (не требующий доказательства) Вы собираетесь опереться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
789
ЦФО, Россия
nnosipov в сообщении #617123 писал(а):
Доказательства будут разные --- в зависимости от того, на какой базовый факт (не требующий доказательства) Вы собираетесь опереться.

Действительно, если не использовать дополнительные свойства алгебры матриц (свойства определителей, линейную независимость и т.п.), то максимум, что можно извлечь из условий $AB=E$ и $BA\ne E$ - это существование пары ортогональных идемпотентов $E_1=BA$ и $E_2=AB-BA$ по которым алгебра матриц разлагается в прямую сумму двух односторонних идеалов. Отсюда следует, в частности, что должно выполняться условие $BA'\ne E$ (или $B'A\ne E$) для любой матрицы $A'$ (соответственно $B'$). Однако доказать, что $E_1=E$ и $E_2=0$, без привлечения дополнительных условий (читай - свойств алгебры матриц), невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
arseniiv в сообщении #617113 писал(а):
Считать ли матрицы из $\mathbb N^2 \to F$ квадратными?

Думаю, они одновременно квадратные и неквадратные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 20:46 
Злостный тролль-клон Дмитрий Муродьянц. Студент 1 курса МГТУ им. Баумана. Кафедра физики


27/08/12

47
Цитата:
Думаю, они одновременно квадратные и неквадратные.
как так?-закон исключенного третьего не может быть одновременно и истинным и ложным! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
А если так?
$AB = E,BA \ne E \Rightarrow BAB = B,BAB \ne B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 21:01 
Злостный тролль-клон Дмитрий Муродьянц. Студент 1 курса МГТУ им. Баумана. Кафедра физики


27/08/12

47
зачет

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение10.09.2012, 21:06 
Заслуженный участник


11/11/07
1182
Москва
Утундрий в сообщении #617158 писал(а):
А если так?
$AB = E,BA \ne E \Rightarrow BAB = B,BAB \ne B$

Из $BA \neq E$ так прямо не следует, что $BAB \neq B$. Например
$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group