2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл от f(z).
Сообщение15.11.2005, 02:17 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
У всех проблемы разные.
350 раз уже в физике мне попадался такой интеграл(ьчик) или к нему сводящиеся $$I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\vec k\cdot \vec x}e^{-k^2a^2}}d^{3}k$$,$$\vec k, \vec x\in\mathbb R^3$$.
Решала так:
В любом случае факторизовать, потом в куб.
1. В экспоненте выделить полный квадрат. Так делают первокурсники.
2. Надо решить такой интеграл. Чудно. Дополним контур до замкнутого (прямоугольный). По бокам по лемме Жордана (вообще-то лемма Жордана вроде для круга, если мне не изменяет память, но там и прямым вычислением можно) будет ноль. Вычетных точек нет. Исходный интеграл равен с минусом интегралу по вещественной оси, который известен.
($$I_a = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$$. Этот и подавно в пол. координатах считается. Любые подобные по параметру или х в дифференциал и по частям. 1 класс, 2 четверть.)
3. С конца. Зная ответ, знаем откуда можно плясать. Исходный, уже факторизованный, интеграл разбить на синус и косинус. Первый, очевидно, равен нулю. Второй можно получить, беря следующий $$\oint\limits_c^{}e^{-z^2}dz$$, контур тоже прямоугольный замкнутый.
4. Интеграл от косинуса по параметру.

Сегодня встретился вновь. Надоело повторяться. Подскажите что-то интересное человеку без мат. образования. Чтобы душа была спокойна.
Гадости не предлагать.
Накидала вариант4, вариант3 валялся без дела. Вдруг кому пригодится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от f(z).
Сообщение15.11.2005, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Я все-таки не рюхаю, в чем проблема. Шаг 1: разворачиваем оси так, что первая координата паралельна $\vec x$. После этого исходный интеграл распадется в произведение трех покоординатных - два тривиальных, один с косинусом. Величина каждого известна, чего голову-то ломать? Откуда величины - да хоть из справочника, главное, чтобы правильные.

$I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\vec k\cdot \vec x}e^{-k^2a^2}} \rm{d}^{3}k = $ $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i k_1 |x|}e^{-|k|^2a^2}} \rm{d}^{3}k = $ $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i k_1 |x|}e^{-{k_1}^2a^2}} \rm{d}k_1 \ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-{k_2}^2a^2}} \rm{d}k_2  \ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-{k_3}^2a^2}} \rm{d}k_3 = $ $\left( \frac{\sqrt{\pi}}{a}e^{-\frac{|x|^2}{4 a^2}}\right) \left( \frac{\sqrt{\pi}}{a}\right)^2 = $ $ \frac{\pi^{3/2}}{a^3}e^{-\frac{|x|^2}{4 a^2}}$.

Строго говоря, исходный интеграл непосредственно разваливался на покоординатные. Поворот осей - это эстетика у меня такая :wink:.

P.S. В математике ценится первое решение, в Computer Science - лучшее.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2005, 19:18 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Не сказать, чтобы мне это не понравилось. Спасибо.

Особенно следующее.
Цитата:
Поворот осей - это эстетика у меня такая.

Присовокупим к уже имеющемуся. Сделаем частью :) своего.

Жаль только, что Вы не поняли зачем это надо. Жаль.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2005, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
LynxGAV писал(а):
Жаль только, что Вы не поняли зачем это надо. Жаль.


"Двигаться дальше, // Как страшно двигаться дальше," (День Серебра)

Мне все время хочется двигаться дальше. Если на пути интеграл, подобрать его, и - дальше. Физическая задача, с этой точки зрения - куда интереснее. А тем более - в 350 раз. Вы ведь не студентам теорию интегрального исчисления объясняете. Там это вполне уместно. По мне, интеграл становиться интересен, только если я начинаю понимать, что интегралы этого типа я не беру, и мне надо бы технику подточить. А когда решаю другую задачу - как ни сделал, все хорошо. Как в заголовке у Леонида Ильича - "Цель иная".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2005, 19:50 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
A как эту страницу уменьшить? Больно велика. Кажется, из-за Вашей :) формулы. У меня все маленькие.

С задачей это конечно был прикол. Не в интеграле дело. Да, и задача сама неинтересная.
Но подумайте, все возле одного крутится, а на него нашлось уже 5 решений.
На форуме сейчас 2 стоящих: 1. по названию автора "геометрические кольца" на теор.мех. и 2. задача Стефана на мат.физ.

С интегральным исчислением, как Вы знаете, у меня плохо. Вряд ли дадут такое :) преподавать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2005, 20:08 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Расскажу вам байку о математиках. Одни из самых излюбленных задач у них - доказательство существования и единственности, ну, и вообще любые доказательства. Работа такая.
А физикам эти доказательства как то..один раз прочел, убедился, что не врут и хватит. Ну, принцип еще запомнил, на случай, если прийдется где-то применить кусок доказательства. И, пожалуй, главное - это условие теоремы и когда ее можно использовать. Например, надо применить преобразование Фурье для к.-нибудь функции. Формулы помню, ну еще проверю, сама функция удовл. или нет усл. Там вроде только должен существовать интеграл от модуля. Или не так? Вот как раз сейчас надо применять. А все остальное - по барабану. По словам одного математика, математика для физиков - тупая наука, в том смысле, что пишешь интеграл, подставляешь туда другой, а думать будешь, где ты его, и из каких соображений, обрежешь, чтобы он не расходился, чтобы чепуха не получилась. Математику, конечно, надо понимать.
Вы, незванный гость, правы в отношении того, что таблицы не зря существуют. Если их издают, то значит люди пользуются. Нет спроса, нет предложения. И пользуются научные работники, им идея важна, а не подсчет. Но хочу заметить была бы я в университете и сказала, этот табулированный. Мне бы так ответили.."Девушка, а не пришли ли вы случаем на уроки словесности? А не пошли бы вы случаем отсюда?"
И иногда не станется сесть и подумать и ручками все проделать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2005, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:

А-а-а. Так Вам просто интересно обсудить возможные решения. Это-то и было не понятно. Обычный вопрос здесь, на форуме - увы - как решить, т.е. люди не знают что делать. Предложение обсудить решения (и, может, найти лучшее) встречаются куда реже. Тогда - и вовсе, солнышко светит ясно в небе голубом. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2005, 01:15 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
А вот мне подынтегральная функция что-то напоминает... А именно, преобразование Фурье от плотности трехмерного нормально распределенного вектора, которое обязательно даст нам характеристическую функцию этого вектора, надо только отнормировать. В результате получим, что интеграл равен
$(\sqrt{2\pi})^3 \frac{1}{(a\sqrt 2)^3}\varphi\left(\frac{\mathbf x}{a\sqrt 2}\right),\quad \mbox{где}\quad\varphi({\mathbf x})=e^{-\frac{\mathbf{x}^2}{2}}

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group