2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вопрос об эквивалентности множеств
Сообщение06.02.2007, 13:32 


04/02/07
164
Имеется два множества А и Б положим что они являются эквивалентными, это означает что между всеми элементами А и Б установлено биективное отношение (каждому элементу из А соответствует только один элемент Б), а значит количество элементов А и Б совпадает. Положим теперь что А есть несчетное множество с мощностью континуума, для определенности пускай это будет множество действительных чисел на некотором отрезке с длинной 2, а Б есть множество всех действительных чисел на отрезке с длинной 1 при чем очевидно что Б включается а А. Очевидно что между множеством А и его подмножеством Б можно установить биективное отношение, например: а = 2*б (где а принадлежит А, б любой элемент Б). Это означает что А и Б эквивалентны а значит количество элементов А и количество элементов Б совпадает. Следовательно множество А\Б ни содержит ни одного элемента и в то же время легко установить что множество А\Б эквивалентно множеству Б а значит количество элементов не равно нулю. Необходимо установить в чем заключается ошибка этих рассуждений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2007, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
С бесконечностями шутки типа "количество совпадает" не прокатывают - тут самое обычное дело "взял всё, что было, а там ещё столько же осталось". :shock: :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2007, 14:05 


04/02/07
164
ИСН писал(а):
С бесконечностями шутки типа "количество совпадает" не прокатывают - тут самое обычное дело "взял всё, что было, а там ещё столько же осталось". :shock: :D

Я с этим согласен, но вот хочется для себя понять это более четко, то есть - очевидно что ошибка есть но где и какова суть этой ошибки :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2007, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Bod писал(а):
ИСН писал(а):
С бесконечностями шутки типа "количество совпадает" не прокатывают - тут самое обычное дело "взял всё, что было, а там ещё столько же осталось". :shock: :D

Я с этим согласен, но вот хочется для себя понять это более четко, то есть - очевидно что ошибка есть но где и какова суть этой ошибки :?:


А ошибка в том, что взяли столько же, сколько было, но не всё. Поэтому и осталось.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2007, 14:45 


04/02/07
164
Someone писал(а):
Bod писал(а):
ИСН писал(а):
С бесконечностями шутки типа "количество совпадает" не прокатывают - тут самое обычное дело "взял всё, что было, а там ещё столько же осталось". :shock: :D

Я с этим согласен, но вот хочется для себя понять это более четко, то есть - очевидно что ошибка есть но где и какова суть этой ошибки :?:


А ошибка в том, что взяли столько же, сколько было, но не всё. Поэтому и осталось.

Несколько необычно воспринимается с точки зрения повседневной логики :)
То есть как я понимаю понятие количество в бесконечных множествах использовать не представляется возможным и оно теряет в этом случае свою связь с таким понятием как мощность множества.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2007, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Bod писал(а):
Someone писал(а):
А ошибка в том, что взяли столько же, сколько было, но не всё. Поэтому и осталось.

Несколько необычно воспринимается с точки зрения повседневной логики :)


Да. На повседневную логику лучше не надеяться. Вы же сами пишете, что на отрезке $[0,2]$ столько же точек, сколько и на отрезке $[0,1]$, и знаете, почему. Поэтому, забирая весь отрезок $[0,1]$, вы забираете столько же точек, сколько их на отрезке $[0,2]$. Но забираете Вы их не все, поскольку остаётся ещё полуинтервал $(1,2]$, на котором точек опять столько же, сколько на отрезке $[0,2]$ (проверить это чуть-чуть хлопотнее, но всё-равно несложно).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2007, 17:32 


04/02/07
164
Благодарю, в общем то примерно так я и думал но мне необходимо было уточнить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 14:10 


04/02/07
164
Подскажите пожалуйста - мощность множества всех точек расположенных на прямой такова же, как и мощность множества всех точек трех мерного пространства? и из этого следует, что каждой точке трехмерного пространства соответствует точка прямой. :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Отрезок равномощен квадрату - это есть во всех учебниках. А дальнейшее банально.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 15:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Bod писал(а):
Подскажите пожалуйста - мощность множества всех точек расположенных на прямой такова же, как и мощность множества всех точек трех мерного пространства? и из этого следует, что каждой точке трехмерного пространства соответствует точка прямой. :?:


Да.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 15:46 


04/02/07
164
То есть получается любое n мерное пространство может быть представленно как одномерное где \[n < \infty \]

Добавлено спустя 2 минуты 52 секунды:

В чем тогда заключается существенная разница n мерного от m мерного пространства где \[n \ne m\].
ПС: Уж простите если задаю глупые вопросы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 15:51 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
В плане мощности множеств - разницы нет. Но с точки зрения других свойств разница может быть. Например, с точки зрения линейных операций, определенных стандартным образом. На этом, собственно, и построено понятие размерности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 16:45 


04/02/07
164
Цитата:
Например, с точки зрения линейных операций, определенных стандартным образом. На этом, собственно, и построено понятие размерности

Нет, это то я как раз прекрасно понимаю просто получается что одно n мерное линейное пространство получается может быть однозначно преобразовано в m мерное где n > m. То есть как таковой разницы не существует так как операции над m мерными объектами будут соответствовать операциям над n мерными обектами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 16:48 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Да, но это будут другие операции, совершенно нестандартные, которые даже описать непросто. И содержательного смысла в них не будет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.02.2007, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Bod, что Вы называете существенной разницей?

Добавлю к тому, что сказал PAV.
Есть разница между множеством чётных чисел и ... множеством чётных чисел? Дык, они даже не по мощности равны, а вообще совпадают.
А теперь рассмотрим одно из них относительно сложения, а другое относительно умножения.

Есть разница между множеством действительных чисел и множеством положительных действительных чисел?
В плане мощности разницы нет, если же рассматривать их как подмножества в множестве комплексных чисел, то одно строго содержится в другом, а теперь первое из них рассмотрим относительно операции сложения, а другое относительно операции умножения и попробуем отличить их в терминах этой операции. Ничего не получится - они теперь снова неотличимы, эти объекты становятся изоморфными и изоморфизм задаётся известным отображением x --> lnx из второго множества в первое.

В Вашем примере, любые два пространства над одним и тем же полем конечных размерностей изоморфны в том и только в том случае, когда их размерности совпадают. Если выбросить операции, оставив лишь носители, то изоморфизм будет означать просто равномощность, но тогда и прощай такие понятия, как линейная зависимость, базис, размерность и т.д. и т.п.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group