Максимальное и минимальное значения выражения

[Keter]

Найти наибольшее и наименьшее значение выражения $2x^2-xy-y^2$, если $x^2+2xy+3y^2=4$.

Я предлагаю оба выражения преобразовать немного:

$$2x^2-xy-y^2=(x-y)(2x+y)=\alpha;$$

$$x^2+2xy+3y^2=4x^2+4xy+y^2+y^2-2xy+x^2+y^2-4x^2=(2x+y)^2+(x-y)^2+y^2-4x^2=\beta;$$

$$\beta-2\alpha=(2x+y)^2-2(x-y)(2x+y)+(x-y)^2+y^2-4x^2=5x^2+y^2=4-2\alpha;$$

$$\alpha=\dfrac{5x^2+y^2-4}{-2}.$$

Затем из второго выражения выразить $y$ через $x$ и найти его наибольшее и наименьшее значения:

$$3y^2+2xy+x^2-4=0;$$

$$D=12-2x^2 \quad \Rightarrow \quad x \in [ -\sqrt{6}; \sqrt{6}];$$

$$y=\dfrac{1}{3} \Big( -x \pm \sqrt{12-2x^2} \Big).$$

Максимальное значение функции $\psi (x) = \dfrac{1}{3} \Big( -x + \sqrt{12-2x^2} \Big)$ достигается при $x=-\sqrt2$ и равняется $\max \psi (x) = \sqrt2$, а минимальное при $x=-\sqrt6; \quad \min \psi (x) = \dfrac{-\sqrt6}{3}$.
У функции $\varphi (x) = \dfrac{1}{3} \Big( -x - \sqrt{12-2x^2} \Big)$ аналогично, только максимально значение достигается при $x=-\sqrt6; \quad \max \varphi (x) = \dfrac{\sqrt6}{3}$.

Следовательно, наименьшее значение $\alpha$ достигается при $x = -\sqrt6; \quad y = \dfrac{-\sqrt6}{3}$, а наибольшее при $x = -\sqrt2; \quad y=\sqrt2$.

$$\min \Big( 2x^2-xy-y^2 \Big) = -13 \dfrac{1}{3};$$

$$\max \Big( 2x^2-xy-y^2 \Big) = -4.$$

Можно конечно рассмотреть функцию двух переменных $f(x, y)=\dfrac{5x^2+y^2-4}{-2}$, но мне кажется это не то.

Есть какие-то недостатки в решении? Может другие идеи?

[ewert]

Keter в сообщении #606382 писал(а):

Есть какие-то недостатки в решении?

Есть -- оно безумно длинное.

Система уравнений $2x^2-xy-y^2=m,\ \ x^2+2xy+3y^2=4$ может иметь ноль, два или четыре решения. Искомые максимум и минимум -- это в точности те два значения параметра $m$, при которых система будет иметь два решения. А эта система в зависимости от параметра решается очень легко и очень стандартно (причём её вовсе не надо будет решать до конца, там быстро становится очевидным условие на параметр).

[Алексей К.]

Keter в сообщении #606382 писал(а):

Есть какие-то недостатки в решении?

Есть: я, не самый плохой математик на этом форуме, ни хрена в нём не понял.
Кто-то, возможно, сочтёт это недостатком меня. Я же считаю это недостатком решения. Или того, как оно преподнесено.

[gris]

А Лагранжем нельзя пользоваться?

[ewert]

gris в сообщении #606400 писал(а):

А Лагранжем нельзя пользоваться?

А зачем, если всё геометрически очевидно.

[alcoholist]

я бы сделал замену $y=\sqrt{2}\sin t$, $x=2\cos{t}-\sqrt{2}\sin t$

[Keter]

ewert, у меня плоховато с системами с параметрами Как они решаются?

-- 15.08.2012, 17:03 --

alcoholist, в итоге прийдется оценивать такое выражение $4 \cos^2 t-6\sqrt2 \sin t \cos t$

-- 15.08.2012, 17:04 --

gris, можете объяснить?

[alcoholist]

Keter в сообщении #606408 писал(а):

в итоге прийдется оценивать такое выражение $4 \cos^2 t-6\sqrt2 \sin t \cos t$

ну так и перейдите к двойному аргументу, в чем сложность-то?

[Keter]

alcoholist, а как оценить то. Они же связаны, например если $\cos t =1$, то $\sin 2t = 0$.

-- 15.08.2012, 17:25 --

Что то я совсем забыл про то, что $\cos^2 t = \dfrac{\cos 2t +1}{2}$

[alcoholist]

Keter в сообщении #606416 писал(а):

а как оценить то

$$ \cos^2t=\frac{1+\cos 2t}{2},\quad \sin t\cos t=\frac{\sin 2t}{2} $$

и

$$ -\sqrt{a^2+b^2}\le a\cos\phi+b\sin\phi\le\sqrt{a^2+b^2} $$

[ewert]

$\begin{cases}2x^2-xy-y^2=m, \\ x^2+2xy+3y^2=4.\end{cases}$.

Второе уравнение задаёт эллипс, первое гиперболу, причём и то, и другое с центром в нуле. Ясно, что гипербола пересекает эллипс при всех не слишком больших положительных и не слишком больших отрицательных значениях параметра $m$ (ну и при нуле, конечно). Максимально и минимально допустимым значениям параметра будут отвечать случаи, когда обе ветви гиперболы касаются эллипса, т.е. когда система имеет два решения.

Теперь пытаемся решить эту систему. Тупо, по-деццки -- умножаем первое уравнение на $4$, второе на $m$ и вычитаем:

$x^2(8-m)+xy(-4-2m)+y^2(-4-3m)=0.$

Это однородное уравнение, которое сводится к квадратному относительно $\frac xy$. Его дискриминант:

$\frac D4=(2+m)^2+(8-m)(4+3m)=-2m^2+24m+36$

должен быть равен нулю, если мы хотим, чтобы однородное уравнение имело ровно одно решение и, соответственно, вся система -- ровно два (здесь есть некоторый логический пробел, но он легко восполняется). Итого: $\min=6-3\sqrt6$ и $\max=6+3\sqrt6$, если ничего не напутал.

[Keter]

ewert, спасибо. Похоже где-то я ошибся в своем "решении", у меня там с преобразованиями какая-то неразбериха. Вообще, похоже подобные задачи все так решаются.

[alcoholist]

Keter в сообщении #606408 писал(а):

в итоге прийдется оценивать такое выражение $4 \cos^2 t-6\sqrt2 \sin t \cos t$

неправильно сосчитали... должно быть $4+4\cos^2t-5\sqrt{2}\sin t\cos t=6+2\cos 2t-5\sqrt 2\sin 2t$, откуда имеем те же $6\pm 3\sqrt{6}$

[Keter]

alcoholist, да Вы правы.