2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение16.08.2012, 19:38 


21/11/10
546
Belfegor в сообщении #606753 писал(а):
Может быть, проблема вот в этом:
вернем 2-ую степень:
$$(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2(z-x)(z-y)$$
$$-x^2-y^2+z^2=0$$
$$(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$$

ishhan в сообщении #606719 писал(а):
Если предположить, что число $z$ чётное и соответственно $x,y$ нечётные, то очевидно что последнее равенство невозможно, так как его правая часть в соответствии с условием целостности числа $(x+y-z)$ должна делиться на 4 но этот факт вступает в противоречие с тем, что числа $(z-x)$ и $(z-y)$ нечётные по предположению.
Может быть сами докажете для $x$ чётное и $z,y$ нечётные

Так? Теорема Пифагора ложна?


Запишем решения уравнения Пифагора используя тождество:
$$(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$$
Исходя из условий целостности имеем:
$(z-x)=2p^2$
$(z-y)=q^2$
$(x+y-z)=2pq$
Из этой системы уравнений находим решения:
$z=2p^2+q^2+2pq$
$y=2p^2+2pq$
$x=2p^2+q^2$
$p, q$ целые числа
Это Пифагоровы тройки можете проверить.
Просто в Пифагоровых тройках одно из чисел $z-x, z-y$ обязательно должно быть чётным.
И Вы правы, не существует пифагоровых троек в которых оба числа $z-x, z-y$ нечётные.
А вообще здесь есть над чем поразмыслить, я пока детально не проверял.
Не забывайте, что этот "нанофакт" относится только к числам вида $a=x^3,b=y^3,c=z^3$, так что аплодисменты по поводу доказательства для чётных степеней оставим на потом :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение16.08.2012, 21:23 


16/08/09
304
ishhan в сообщении #606771 писал(а):
Не забывайте, что этот "нанофакт" относится только к числам вида $a=x^3,b=y^3,c=z^3$, так что аплодисменты по поводу доказательства для чётных степеней оставим на потом :wink:


Многоуважаемый ishhan! А почему не относится к $a=x^5,b=y^5,c=z^5$?

-- Чт авг 16, 2012 22:51:20 --

ishhan в сообщении #606771 писал(а):
Просто в Пифагоровых тройках одно из чисел $z-x, z-y$ обязательно должно быть чётным.


$\begin{array}{l}
 X = 4n + 1 \\ 
 Y = 4p + 1 \\ 
 (4n \pm 1)^6  = 4n_1  + 1 \\ 
 (4p \pm 1)^6  = 4p_1  + 1 \\ 
 4n_1  + 1 + 4p_1  + 1 = Z^6  \\ 
 4(n_1  + p_1 ) + 2 = Z^6  \\ 
 \end{array}
$
Вот, кстати, почему в 6 степени X и Y не могут быть нечетными :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение16.08.2012, 21:51 


21/11/10
546
Belfegor в сообщении #606802 писал(а):
А почему не относится к $a=x^5,b=y^5,c=z^5$?

Я же говорю Вам, что детально не проверял.
Вы справедливо заметили, что это можно применить к числам $a=x^n,b=y^n,c=z^n$ где показатель степени $n$ любое целое число не равное нулю, и если большее число $z$-чётное, то такие тройки не могут быть решениями УФ вида:$x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$
Просто хотелось обратить внимание любителей ВТФ на тождество содержащее уравнение Ферма:
$$(x+y-z)^n-x^n-z^n+z^n=n(x+y)(x-z)(y-z)W^{n-3}(x,y,-z)$$
где $W^{n-3}(x,y,-z) $ целочисленная симметрическая форма степени $n-3$ содержания единица если $n$ простое число.
И содержания $n$, если $n$ нечётное составное число, но тогда тождество выглядит как:
$$(x+y-z)^n-x^n-z^n+z^n=(x+y)(x-z)(y-z)W^{n-3}(x,y,-z)$$
А так же, обратить внимание любителей ВТФ на свойства симметрии формы $W^{n-3}(x,y,-z)$
Возможно имеет смысл рассмотреть совместно три равенства (опять же для n=6)
1)$z^6=x^6+y^6$
2)$(x^2+y^2-z^2)^3-x^6-y^6+z^6=3(x^2+y^2)(x^2-z^2)(y^2-z^2)$
3)$(x^3+y^3-z^3)^2-x^6-y^6+z^6=2(x^3-z^3)(y^3-z^3)$
Но придётся повозиться :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение16.08.2012, 21:54 


26/08/11
2057

(Оффтоп)

Belfegor в сообщении #606753 писал(а):
Так? Теорема Пифагора ложна?
Теорема Пифагора и Пифагоровые тройки - разные вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение16.08.2012, 23:11 


16/08/09
304
ishhan в сообщении #606809 писал(а):
можно применить к числам $a=x^n,b=y^n,c=z^n$ где показатель степени $n$ любое целое число не равное нулю, и если большее число $z$-чётное, то такие тройки не могут быть решениями УФ вида:$x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$


Или так
$\begin{array}{l} X = 4m + 1 \\ Y = 4p + 1 \\ (4m \pm 1)^{2n} = 4m_1 + 1 \\ (4p \pm 1)^{2n} = 4p_1 + 1 \\ 4n_1 + 1 + 4p_1 + 1 = Z^{2n} \\ 4(n_1 + p_1 ) + 2 = Z^{2n} \\ \end{array} $

:shock: :wink: :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение22.08.2012, 20:08 


16/08/09
304
Латаю нанодоказательство для 6-ой степени :D
Итак: надо доказать, что равенство

$X^6 + Y^6 = Z^6\qquad\qquad(1)$

не выполняется при любых
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $взаимно простые числа

Для четных степеней всегда $Z - Y > 1$

Представим (1) в виде

$Z^6 - Y^6 = X^6\qquad\qquad(2)$

Разложим на сомножители:

$(Z^3 - Y^3 )(Z^3 + Y^3 ) = X^6\qquad\qquad (3)$

Так как

$(Z^3 - Y^3 ) \bot (Z^3 + Y^3 ) $ отсюда следует, что


$ \begin{array}{l} Z^3 - Y^3 = a^6\qquad\qquad (4) \\ \\ Z^3 + Y^3 = b^6\qquad\qquad (5) \\ \end{array} $

Преобразуем (4) и (5):

$\begin{array}{l}
 2Z^3  =   a^6  +   b^6\qquad\qquad(6) \\ 
 \\
2Y^3  =   b^6   -  a^6\qquad\qquad(7) \\ 
 \end{array}$

Сделаем замены

$\begin{array}{l}
 a^2  =  k\qquad\qquad(8) \\ 
\\
 b^2  =  t\qquad\qquad(9) \\ 
 \end{array}$

Получим:


$\begin{array}{l}
 2Z^3  =   k^3  +   t^3 \qquad\qquad(10) \\ 
 \\ 
2Y^3  =   t^3   -  k^3\qquad\qquad(11) \\ 
 \end{array}
$

Преобразуем (10)

$\begin{array}{l}
 2Z^3  =   k^3  +   t^3\qquad\qquad \\ 
\\
 (k + t)(k^2  - kt  +  t^2 ) = 2Z^3  = 2p^3 s^3\qquad\qquad (12) \\ 
\\
 (k + t) \bot (k^2  - kt  +  t^2 )\qquad\qquad(13) \\ 
\\ 
(k + t) = 2p^3\qquad\qquad(14)\\ 
 \end{array}$

Далее:

$\begin{array}{l}
 2Z^3  =   k^3  +   t^3  \\ 
\\ 
 2Z^3  + Z^3  =   k^3  +   t^3  + Z^3  \\ 
\\  
3Z^3  = k^3  +   t^3  + Z^3\qquad\qquad(16)  \\ 
\\ 
 (k + t)^3  + Z^3  - 3Z(k + t) = 3Z^3\qquad\qquad(17)  \\ 
 \\ 
(k + t + Z)^3  = 3Z((k + t)(2k + t + Z) + Z^2 )\qquad\qquad(18) \\ 
\\ 
 (2p^3  + ps)^3  = 3ps(2p^3 (2p^3  + ps + k) + p^2 s^2 )\qquad\qquad(19) \\ 
\\ 
 p^3 (2p^2  + s)^3  = 3p^3 s(2p(2p^3  + ps + k) + s^2 )\qquad\qquad(20) \\ 
\\ 
 (2p^2  + s)^3  = 3s(2p(2p^3  + ps + k) + s^2 )\qquad\qquad(21) \\ 
 \end{array}$

Из (21) следует, что $ (2p^2  + s)^3$ кратно $s$

Т.к. $ p \bot s$ это утверждение неверно, получили противоречие.

И значит равенство (1) не выполняется для натуральных чисел :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение23.08.2012, 11:52 
Заблокирован


20/08/12

11
Уважаемый Belfegor!
В Вашем доказательстве приведены формулы (4) и (5):
$Z^3-Y^3=a^6$
$Z^3+Y^3=b^6$
Вы утверждаете, что эти равенства выполняются. Но если я все правильно понял, Вы ошибаетесь. Пример:
$17^3-12^3=3185=5\cdot7\cdot91$
$17^3+12^3=6641=29\cdot229$
При этом числа могут иметь одинаковые сомножители. Пример:
$21^3-15^3=5886=2\cdot3^3\cdot109$
$21^3+15^3=12636=2^2\cdot3^5\cdot13$
Поэтому:
$Z^3-Y^3\ne a^6$
$Z^3+Y^3\ne b^6$
Я тоже едва не споткнулся об этот"пенек".
Желаю удачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение23.08.2012, 13:49 


21/11/10
546
kvistor в сообщении #609437 писал(а):
В Вашем доказательстве приведены формулы (4) и (5):
$Z^3-Y^3=a^6$
$Z^3+Y^3=b^6$
Вы утверждаете, что эти равенства выполняются. Но если я все правильно понял, Вы ошибаетесь. Пример:
$17^3-12^3=3185=5\cdot7\cdot91$
$17^3+12^3=6641=29\cdot229$


Равенства:
$Z^3-Y^3=a^6$
$Z^3+Y^3=b^6$
имеет смысл посмотреть http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html
представляют собой условия целостности для чисел $X,Y,Z$ в предположении, что верно равенство $X^6+Y^6=Z^6$
При этом $X=ab$
P.S. $91=7\cdot 13$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение23.08.2012, 16:37 
Заблокирован


21/07/12

21
Для Belfegora
Записав Ваше исходное уравнение как:$X^6=Z^6-Y^6,$перепишем его следующим образом:
$(X^3)^2 =(Z^3)^2-(Y^3)^2$.
Получили уравнение теоремы Пифагора.
В "Дискуссионных темах" в "ПУРГАТОРИИ" я обнаружил тему "Доказательство теоремы Ферма для n=2m". Обратившись к этой теме, Вы найдете доказательство того, что решения этого уравнения в целых числах нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение23.08.2012, 18:10 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  tormans, kvistor --- заблокирован.

Правила форума, п. I-1(п), двойная регистрация.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение23.08.2012, 22:58 


16/08/09
304
В Пургатории ВТФ давным давно доказана в три строчки (или даже в две может быть...)! :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение11.04.2013, 16:23 


27/03/12
449
г. новосибирск
если Z число четное, то из $Z = p^2 + q^2 $ следует, что числа P и q одной четности, но тогда $X = P^2 -q^2$ и $Y = 2Pq$ числа четные.
В равенстве $(X + Y - Z)^2 = 2(Z -X)(Z -Y)$ исчезает противоречие

 Профиль  
                  
 
 Re: Нанодоказательство ВТФ для четных степеней
Сообщение11.04.2013, 19:51 


16/08/09
304
vasili в сообщении #708660 писал(а):
В равенстве $(X + Y - Z)^2 = 2(Z -X)(Z -Y)$ исчезает противоречие


Уважаемый vasili! А оно там было?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group