2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение28.08.2012, 23:06 


16/08/09
304
Феликс Шмидель в сообщении #611618 писал(а):
Теорема
--------------


Доказательство
-----------------------


Уважаемый Феликс Шмидель! Многочисленные теоремы, леммы и их доказательства, которые вы приводите - вашего мозга дело, или вы приводите существующую теорию. И видите ли вы свет в конце тоннеля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение29.08.2012, 07:53 


31/03/06
1384
Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.

Теорема
------------

Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Пусть $b_1$, ..., $b_n$ - $\mathbb{Z}$-базис идеала $I$.
Пусть $v_1$, ..., $v_n$ - $\mathbb{Z}$-базис кольца $G$.

Тогда

$N(I)=\sqrt{\frac{disc(b_1, ..., b_n)}{disc(v_1, ..., v_n)}}$.

Доказательство
-----------------------

Эта теорема является непосредственным следствием доказанного ранее равенства:

$disc(b_1, ..., b_n)=|G/I|^2 disc(v_1, ..., v_n)$.

Заметим, что $disc(v_1, ..., v_n)$ не зависит от выбора $\mathbb{Z}$-базиса кольца $G$ (поскольку матрица перехода от одного $\mathbb{Z}$-базиса к другому является унимодулярной).
Целое число $disc(v_1, ..., v_n)$ называется дискриминантом поля $F$.
Дискриминант поля $F$ может быть целым положительным или целым отрицательным числом.
Отношение $\frac{disc(b_1, ..., b_n)}{disc(v_1, ..., v_n)}$ является положительным числом (квадратом детерминанта матрицы перехода от $\mathbb{Z}$-базиса $v_1$, ..., $v_n$ к
$\mathbb{Z}$-базису $b_1$, ..., $b_n$).

Следствие
----------------

Пусть $c$ - какое-либо ненулевое число кольца $G$.
Пусть $I=(c)$ - главный идеал.

Тогда $N(I)=|N(c)|$, то есть норма главного идеала равна абсолютной величине нормы его генератора.

Доказательство
------------------------

Пусть $v_1$, ..., $v_n$ - $\mathbb{Z}$-базис кольца $G$.
Тогда $c v_1$, ..., $c v_n$ - $\mathbb{Z}$-базис идеала $I$.

Имеем: $disc(с v_1, ..., с v_n)=(N(c))^2 disc(v_1, ..., v_n)$
Из этого и предыдущей теоремы следует: $(N(I))^2=(N(c))^2$.
Поскольку $N(I)$ является целым положительным числом, то $N(I)=|N(c)|$.


Теорема
-------------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Пусть $B$ - полная система вычетов по модулю идеала $\rho$.
Пусть $a$ - какое-либо число из идеала $\rho$, не принадлежащее идеалу $\rho^2$.
Пусть $k$ - какое-либо целое положительное число.

Числа вида

(1) $b_{k-1} a^{k-1}+b_{k-2} a^{k-2}+...+b_0$, где $b_0$, ..., $b_{k-1}$ - числа из $B$, образуют полную систему вычетов по модулю идеала $\rho^k$.

Разным упорядоченным наборам чисел $(b_0, ..., b_{k-1})$ соответствуют несравнимые по модулю идеала $\rho^k$ числа вида (1).

Доказательство
------------------------

Предположим обратное, и пусть $k$ - наименьшее целое положительное число, для которого лемма неверна.
Тогда $k>1$ (поскольку при $k=1$ лемма верна).
Пусть $(b_0, ..., b_{k-1})$ и $(c_0, ..., c_{k-1})$ - два набора чисел из $B$.
Пусть

(2) $b_{k-1} a^{k-1}+b_{k-2} a^{k-2}+...+b_0 \equiv c_{k-1} a^{k-1}+c_{k-2} a^{k-2}+...+c_0$ по модулю идеала $\rho^k$
.
Покажем, что $b_0=c_0$, ..., $b_{k-1}=c_{k-1}$.

Из (2) следует:

(3) $b_{k-2} a^{k-2}+b_{k-3} a^{k-3}+...+b_0 \equiv c_{k-2} a^{k-2}+c_{k-3} a^{k-3}+...+c_0$ по модулю идеала $\rho^{k-1}$

В силу минимальности $k$, $b_0=c_0$, ..., $b_{k-2}=c_{k-2}$.
Теперь из (2) следует:

(4) $b_{k-1} a^{k-1} \equiv c_{k-1} a^{k-1}$ по модулю идеала $\rho^k$.

Поскольку $a^{k-1}$ делится на $\rho^{k-1}$ и не делится на $\rho^k$, то

(5) $b_{k-1} \equiv c_{k-1}$ по модулю идеала $\rho$.

Из (5) следует: $b_{k-1}=c_{k-1}$ поскольку числа $b_{k-1}$ и $c_{k-1}$ принадлежат полной системе вычетов по модулю идеала $\rho$.

Мы доказали, что числа вида (1) несравнимы друг с другом по модулю идеала $\rho^k$, при разных упорядоченных наборах чисел $(b_0, ..., b_{k-1})$ из $B$.

Пусть $d$ - произвольное число из кольца $G$.
Покажем, что $d$ сравнимо с числом вида (1) по модулю идеала $\rho^k$.
В силу минимальности $k$, $d$ сравнимо с числом вида $b_{k-2} a^{k-2}+b_{k-3} a^{k-3}+...+b_0$ по модулю идеала $\rho^{k-1}$.

Пусть $d_1=d-(b_{k-2} a^{k-2}+b_{k-3} a^{k-3}+...+b_0)$.

Тогда число $d_1$ делится на идеал $\rho^{k-1}$.

Сравнение

(6) $x a^{k-1} \equiv d_1$ по модулю идеала $\rho^k$

имеет решение $x \in G$, поскольку число $d_1$ делится на идеал $(a^{k-1}, \rho^k)=\rho^{k-1}$.

Пусть $b_{k-1}$ - вычет из $B$, сравнимый с $x$ по модулю идеала $\rho$.
Из (6) следует:

(7) $b_{k-1} a^{k-1} \equiv d_1$ по модулю идеала $\rho^k$.

Из (7) следует: $d \equiv b_{k-1} a^{k-1}+b_{k-2} a^{k-2}+...+b_0$ по модулю идеала $\rho^k$, что и требовалось.

Этой теоремы нет в Гекке, я придумал её сам.
Следствием этой теоремы является равенство $N(\rho^k)=N(\rho)^k$, из которого следует ещё одно доказательство мультипликативности нормы идеалов.
Сначала мы доказали китайскую теорему об остатках для идеалов, следствием которой является мультипликативность нормы идеалов в случае произведения взаимно-простых идеалов.
Затем мы доказали условие разрешимости линейных сравнений по модулю идеала, которое использовали в этой теореме (и в первом доказательстве мультипликативности нормы идеалов).

Следствие
----------------
Пусть $\rho$ - простой идеал.
Пусть $k$ - целое положительное число.

В полной системе вычетов по модулю идеала $\rho^k$ имеется $N(\rho)^k-N(\rho)^{k-1}$ чисел, взаимно-простых с $\rho$.

Доказательство
-------------------------

Число вида (1) делится на $\rho$ если $b_0 \equiv 0$ по модулю $\rho$.
В этом случае, числа $b_1$, ..., $b_{k-1}$ могут быть произвольными вычетами по модулю $\rho$,
поэтому имеется $N(\rho)^{k-1}$ чисел, вида (1), делящихся на $\rho$.
Остальные числа вида (1) взаимно-просты с $\rho$.
Этих чисел имеется $N(\rho)^k-N(\rho)^{k-1}$, что и требовалось.


Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Пусть $B$ - полная система вычетов по модулю $I$.
Колличество чисел в $B$, взаимно-простых с идеалом $I$, называется функцией Эйлера для идеалов и обозначается $\varphi(I)$.
Мы доказали, что $\varphi(\rho^k)=N(\rho)^k-N(\rho)^{k-1}$ для степени простого идеала $\rho$.


Теорема
--------------

Пусть $I$ и $J$ - взаимно-простые идеалы.
Тогда $\varphi(I J)=\varphi(I)\varphi(J)$

Доказательство
-----------------------

Пусть $a$ и $b$ - такие числа кольца $G$, что $(a, IJ)=I$ и $(b, IJ)=J$.
Пусть выбраны полные ситемы вычетов по модулю идеала $I$ и по модулю идеала $J$.
Числа вида

(8) $a x+b y$, где $x$ пробегает полную систему вычетов по модулю $J$, а $y$ пробегает полную систему вычетов по модулю $I$,

образуют полную систему вычетов по модулю $IJ$.

(Это было бы неверно, если бы идеалы $I$ и $J$ не была взаимно-простыми. В этом случае, мы видели, что числа $ax+y$ образуют полную систему вычетов по модулю идеала $I J$).

Числа вида (8) взаимно-просты с идеалом $I J$ тогда и только тогда, когда число $x$ взаимно-просто с идеалом $J$, а число $y$ взаимно-просто с идеалом $I$.
Значит $\varphi(I J)=\varphi(I)\varphi(J)$.


Следствие
----------------

$\varphi(I)=N(I)\prod_{\rho | I}(1-\frac{1}{N(\rho)})$, где $\rho$ в произведении пробегает все простые делители идеала $I$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение29.08.2012, 15:26 


31/03/06
1384
Belfegor в сообщении #611999 писал(а):
Феликс Шмидель в сообщении #611618 писал(а):
Теорема
--------------


Доказательство
-----------------------


Уважаемый Феликс Шмидель! Многочисленные теоремы, леммы и их доказательства, которые вы приводите - вашего мозга дело, или вы приводите существующую теорию. И видите ли вы свет в конце тоннеля?


Это существующая теория алгебраических чисел. Никакого света в конце тоннеля я не вижу.
Я законспектировал около трети книги Гекке "Теория алгебраических чисел".
Закон квадратичной взаимности доказывается в конце книги, и пока я до него дойду возьмёт время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение29.08.2012, 20:56 


31/03/06
1384
Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.

Теорема
--------------

Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Пусть $\varphi(x)$ - функция Эйлера для идеалов.
Пусть $a$ - какое-либо число из кольца $G$, взаимно-простое с идеалом $I$.

Тогда $a^{\varphi(I)} \equiv 1$ по модулю идеала $I$.

Доказательство
------------------------

Пусть

(1) $b_1$, ..., $b_m$ - все взаимно-простые с идеалом $I$ числа некоторой полной системы вычетов по модулю идеала $I$, где $m=\varphi(I)$.

Числа

(2) $a b_1$, ..., $a b_m$

несравнимы друг с другом по модулю идеала $I$.

Поскольку числа (2) взаимно просты с идеалом $I$, то каждому числу из (2) соответствует сравнимое с ним число из (1).

Это соответствие чисел из (1) числам из (2) является взаимно-однозначным, поскольку различные числа из (2) сравнимы с различными числами из (1).

Значит произведение всех чисел (1) сравнимо с произведением всех чисел из (2) по модулю идеала $I$, то есть:

(3) $a^m (b_1...b_m) \equiv (b_1...b_m)$ по модулю идеала $I$.

Поскольку число $(b_1...b_m)$ взаимно-просто с идеалом $I$, то из (3) следует: $a^m \equiv 1$ по модулю идеала $I$, что и требовалось.


Теорема (малая теорема Ферма для идеалов)
-----------------------------------------------------------------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Пусть $a$ - какое-либо число из кольца $G$, не делящееся на идеал $\rho$.

Тогда $a^{N(\rho)-1} \equiv 1$ по модулю идеала $\rho$.

Доказательство
------------------------

Эта теорема следует из предыдущей, поскольку $\varphi(\rho)=N(\rho)-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение30.08.2012, 03:23 


31/03/06
1384
Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.

Другое доказательство предыдущей теоремы:

Теорема
--------------

Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Пусть $\varphi(x)$ - функция Эйлера для идеалов.
Пусть $a$ - какое-либо число из кольца $G$, взаимно-простое с идеалом $I$.

Тогда $a^{\varphi(I)} \equiv 1$ по модулю идеала $I$.

Доказательство
------------------------

Определим в фактор группе по сложению $G/I$ операцию умножения следующим образом:
Произведением двух смежных классов $b+I$ и $c+I$ называется класс $(bc)+I$.
Это определение не зависит от выбора элементов $b$ и $c$.
Заметим также, что это определение не совпадает с определением произведения множеств, которое было дано ранее.
Смежные классы $b+I$, такие, что число $b$ взаимно-просто с идеалом $I$, образуют множество $H$ смежных классов.
Покажем, что $H$ является абелевой группой по умножению с единичным элементом $1+I$.
Если $b+I$ и $c+I$ принадлежат множеству $H$, то $(bc)+I$ принадлежит $H$, поскольку число $(bc)$ взаимно-просто с идеалом $I$.
Если смежный класс $b+I$ принадлежит множеству $H$, то сравнение $x b \equiv 1$ по модулю идеала $I$ имеет решение $x \in G$, поскольку число $b$ взаимно-просто с идеалом $I$.
Это решение $x$ взаимно-просто с идеалом $I$, и смежный класс $x+I$ является обратным элементом смежного класса $b+I$ по умножению.
Значит множество смежных классов $H$ является абелевой группой по умножению.
Заметим, что $H$ не является подгруппой группы $G/I$ по сложению, поскольку сумма двух элементов $H$ может не принадлежать $H$.
Поскольку порядок группы по умножению $H$ равен $\varphi(I)$, то:

(1) $(a+I)^{\varphi(I)}=(1+I)$.

Из (1) следует: $a^{\varphi(I)} \equiv 1$ по модулю идеала $I$, что и требовалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение30.08.2012, 10:41 


31/03/06
1384
Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.

Лемма
-------------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Тогда $N(\rho)=p^f$, где $p$ - простое число, которое делится на идеал $\rho$, а $f$ - целое положительное число, не большее $n$.

Число $f$ называется степенью простого идеала $\rho$.

Доказательство
-------------------------

Поскольку любой ненулевой идеал является делителем некоторого главного идеала, а тот, в свою очередь является делителем своей нормы, то любой ненулевой идеал является делителем некоторого целого положительного числа.
Простой идеал $\rho$ является делителем некоторого целого положительного числа $m$.
Число $m$ разлагается в произведение степеней простых чисел, одно из которых делится на $\rho$.
Таким образом, существует простое число $p$, которое делится на идеал $\rho$.
Норма $N(p)=p^n$ делится на $N(\rho)$, поэтому $N(\rho)=p^f$, что и требовалость.

Теорема
--------------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Ранг фактор группы по сложению $G/\rho$ равен степени $f$ простого идеала $\rho$.

Доказательство
-----------------------

Пусть $N(\rho)=p^f$.

Поскольку простое число $p$ делится на идеал $\rho$, то для любого числа $x \in G$:

(1) $px \equiv 0$ по модулю идеала $\rho$.

Из (1) следует, что любой ненулевой элемент фактор группы по сложению $G/\rho$ имеет порядок $p$.

Следовательно в разложении абелевой группы по сложению $G/\rho$ в прямую сумму циклических подгрупп, все подгруппы имеют порядок $p$.
Поскольку порядок группы $G/\rho$ равен $p^f$, то колличество этих подгрупп равно $f$.
Значит ранг группы $G/\rho$ равен $f$, что и требовалось.

Теорема
----------------

Пусть $a_0$, ..., $a_{m-1}$ - какие либо числа кольца $G$.
Пусть $\rho$ - какой-либо простой идеал.

Сравнение

(2) $x^m+a_{m-1} x^{m-1}+...+a_0 \equiv 0$ по модулю простого идеала $\rho$ имеет не более $m$ несравнимых друг с другом (по модулю идеала $\rho$) решений $x \in G$.

Доказательство
-----------------------

Предположим обратное, и пусть $m$ - наименьшее целое положительное число для которого сравнение (2) имеет более $m$ несравнимых решений.
Имеем: $m>1$, поскольку при $m=1$, число решений сравнения (2) равно 1.
Пусть $x_1 \in G$ - какое-либо решение сравнения (2).
Разделим полином (2) на $(x-x_1)$ с остатком, получим:

(3) $x^m+a_{m-1} x^{m-1}+...+a_0=(x-x_1)(x^{m-1}+b_{m-2} x^{m-2}+...+b_0)+c$,

где $b_0$, ..., $b_{m-2}$, и также остаток $c$ принадлежат кольцу $G$ (согласно алгоритму деления полиномов в столбик).

Подставляя $x=x_1$ в (3) получим $c \equiv 0$ по модулю идеала $\rho$, и сравнение (2) получает вид:

(4) $(x-x_1)(x^{m-1}+b_{m-2} x^{m-2}+...+b_0) \equiv 0$ по модулю идеала $\rho$.

Любое решение сравнения (4), несравнимое с $x_1$ (по модулю идеала $\rho$) является решением сравнения

(5) $x^{m-1}+b_{m-2} x^{m-2}+...+b_0 \equiv 0$ по модулю идеала $\rho$,

поскольку $\rho$ - простой идеал.

В силу минимальности $m$, сравнение (5) имеет не более $(m-1)$ несравнимых решений $x \in G$.
Следовательно, сравнение (4) и сравнение (2) имеют не более $m$ несравнимых решений, что и требовалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение30.08.2012, 14:52 


31/03/06
1384
Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.

Теорема
--------------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Пусть $N(\rho)=p^f$, где $p$ - простое число, а $f$ - целое положительное число.
Пусть $a$ - какое-либо число кольца $G$.

Для того, чтобы $a$ было сравнимо с целым рациональным числом по модулю идеала $\rho$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось сравнение:

(1) $a^p \equiv a$ по модулю идеала $\rho$.

Доказательство
------------------------

Если $a$ - целое рациональное число, то сравнение (1) выполняется в силу малой теоремы Ферма (поскольку $p$ делится на $\rho$).
Поэтому оно выполняется, если $a$ сравнимо с целым рациональным числом по модулю идеала $\rho$.
Пусть, теперь, сравнение (1) выполняется.
Докажем, что $a$ сравнимо с целым рациональным числом по модулю идеала $\rho$.

Сравнение

(2) $x^p \equiv x$ по модулю идеала $\rho$

имеет не более $p$ несравнимых друг с другом по модулю идеала $\rho$ решений $x \in G$.

Но $p$ чисел:

(3) $0$, $1$, ..., $p-1$

являются решениями сравнения (2), несравнимыми друг с другом по модулю идеала $\rho$.

Поэтому любое число $x \in G$, удовлетворяющее сравнению (2), сравнимо с одним из чисел (3).
В частности $a$ сравнимо с одним из чисел (3), что и требовалось.


Лемма
-----------

Пусть $\rho$ - простой идеал.
Кольцо $G/\rho$ c определённым ранее умножением смежных классов является конечным полем.
Группа $H$ по умножению этого поля (без нулевого элемента) является циклической.

Доказательство
-----------------------

Мы уже доказывали, что $H$ - абелева группа по умножению.
Поскольку кольцо $G/\rho$ без нулевого элемента является абелевой группой по умножению, то $G/\rho$ является полем.
Поскольку кольцо $G/\rho$ конечно, то оно является конечным полем.
Поскольку группа $H$ конечна, и является подгруппой поля по умножению, то как мы уже доказывали, она циклическая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение31.08.2012, 19:01 


31/03/06
1384
Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$ - числовое поле, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $G$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.


Пусть $I$ - какой-либо идеал кольца $G$, и $r \in F$ - какое-либо алгебраическое число (не обязательно целое).
Множество $r I$ чисел поля $F$ называется дробным идеалом.
Любой идеал является дробным идеалом (при $r=1$).
Дробный идеал, содержащийся в кольце $G$ является идеалом.


Лемма
----------

Произведение дробных идеалов является дробным идеалом.

Доказательство
-------------------------

Пусть $r_1 I$ и $r_2  J$ - какие-либо дробные идеалы, где $r_1$ и $r_2$ - алгебраические числа поля $F$, а $I$ и $J$ - идеалы кольца $G$.

Тогда $(r_1 I)(r_2 J)=(r_1 r_2) (IJ)$.

Это следует из того, произведениe вида $(r_1 a)(r_2 b)$ равно $(r_1 r_2) (ab)$, и в конечных суммах таких произведений $(r_1 r_2)$ можно вынести за скобки.


Теорема
--------------

Ненулевые дробные идеалы образуют группу по умножению.

Чтобы доказать это, для любого ненулевого дробного идеала $A$, найдём обратный к нему дробный идеал $A^{-1}$, то есть такой, что $A A^{-1}=G$.
Для этого, определим дробный идеал $A^{-1}$ и докажем несколько лемм.

Пусть $A$ - ненулевой дробный идеал.
Определим $A^{-1}$ как множество всех таких алгебраических чисел $x$ поля $F$, что $x A \subseteq G$.


Лемма
-----------

Пусть $I$ - ненулевой идеал, и $r \in F$ - ненулевое алгебраическое число.
Тогда $(r I)^{-1}=r^{-1} I^{-1}$.

Доказательство
--------------------------

Алгебраическое число $x$ принадлежит множеству $(r I)^{-1}$ тогда и только тогда, когда $x (rI) \subseteq G$.
Алгебраическое число $x$ принадлежит множеству $r^{-1} I^{-1}$ тогда и только тогда, когда $x r \in I^{-1}$, а это выполняется тогда и только тогда , когда $(x r) I\subseteq G$.

Значит $(r I)^{-1}=r^{-1} I^{-1}$.


Лемма
------------

Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Тогда множество $I^{-1}$ является дробным идеалом, содержащим кольцо $G$.

Доказательство
------------------------

Множество $I^{-1}$ содержит $G$, потому что для любого $x \in G: x I \subseteq I \subseteq G$.

(1) Множество $I^{-1}$ является абелевой группой по сложению, поскольку из $x I \subseteq G$ и $y I \subseteq G$ следует $(x-y) I \subseteq G$.

Пусть $d$ - какой-либо элемент кольца $G$.
Покажем, что $d I^{-1} \subseteq I^{-1}$.
Пусть $d x$ - какой-либо элемент множества $d I^{-1}$, где $x \in I^{-1}$.
Тогда $x I \subseteq G$, следовательно $d x I \subseteq G$ следовательно $d x \in I^{-1}$.
Значит:

(2) Для любого числа $d \in G$: $d I^{-1} \subseteq I^{-1}$.

Пусть $c$ - какой-либо ненулевой элемент идеала $I$.
Из (1) следует:

(3) множество $c I^{-1}$ является абелевой группой по сложению.

Из (2) следует:

(4) Для любого числа $d \in G$: $d c I^{-1} \subseteq c I^{-1}$.

Из определения множества $I^{-1}$ следует:

(5) $c I^{-1} \subseteq G$.

Из (3), (4) и (5) вместе следует, что $c I^{-1}$ является идеалом.

Значит $I^{-1}$ является дробным идеалом, что и требовалось.


Лемма
-----------

Пусть $I$ - собственный ненулевой идеал.
Тогда дробный идеал $I^{-1}$ содержит кольцо $G$, но не совпадает с ним.

Доказательство
------------------------

В предыдущей лемме, мы показали, что $I^{-1}$ содержит $G$.
Поскольку $I$ - собственный идеал, то существует такое алгебраическое число $r$, не являющееся целым, что $r I \subseteq G$.
Следовательно, $r \in  I^{-1}$, что и требовалось.


Лемма
-------------

Пусть $I$ - ненулевой идеал.
Тогда $I I^{-1}=G$.

Доказательство
-------------------------

Множество $I I^{-1}$ является дробным идеалом (как произведение дробных идеалов).
Из определения множества $I^{-1}$ следует: $I I^{-1} \subseteq G$.
Значит $I I^{-1}$ является идеалом.

Предположим обратное: $I I^{-1} \not = G$.
Тогда существует такое алгебраическое число $r \in F$, не являющееся целым, что:

(6) $r I I^{-1} \subseteq G$.

Из (6) следует $r  I^{-1} I\subseteq G$, следовательно:

(7) $r  I^{-1} \subseteq I^{-1}$.

Как мы знаем, из (7) следует, что $r$ - целое алгебраическое число в противоречии с тем, что $r$ не является целым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение01.09.2012, 05:19 


31/03/06
1384
Исправление
---------------------

Феликс Шмидель в сообщении #613053 писал(а):
(7) $r  I^{-1} \subseteq I^{-1}$.

Как мы знаем, из (7) следует, что $r$ - целое алгебраическое число в противоречии с тем, что $r$ не является целым.


исправляется на

(7) $r  I^{-1} \subseteq I^{-1}$.

Пусть $c$ - какой-либо ненулевой элемент идеала $I$.
Из (7) следует:

(8) $r  (c I^{-1}) \subseteq (c I^{-1})$.

Поскольку $c I^{-1}$ - идеал, то как мы знаем, из (8) следует, что $r$ - целое алгебраическое число в противоречии с тем, что $r$ не является целым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение01.09.2012, 17:34 


31/03/06
1384
Исправление
----------------------

Феликс Шмидель в сообщении #610581 писал(а):
Теорема
---------------

Любой ненулевой собственный идеал разлагается в произведение конечного числа простых идеалов (которое может состоять и из одного сомножителя).

Доказательство
--------------------------

Предположим обратное, и пусть $S$ - множество ненулевых собственных идеалов, которые не разлагаются в конечное число простых идеалов.
Пусть $I$ - максимальный идеал в $S$.
Поскольку $I \in S$, то $I$ не является простым идеалом.
Пусть $J$ - какой-либо простой идеал, содержащий $I$.
Тогда $I$ делится на $J$, следовательно существует такой идеал $L$, что

(1) $I=JL$

Если $L=I$, то из (1) получим $J=G$, в противоречии тому, что $J$ - простой идеал.
Если $L=G$, то из (1) получим $J=I$, в противоречии тому, что $J$ - простой идеал, а $I$ - нет.
Пусть $L$ - идеал, отличный от $I$ и от $J$.
Из (1) следует, что $I$ содержится в $L$.
В силу максимальности идеала $I$ в $S$, идеал $L$ не принадлежит $S$.
Поскольку $L$ - ненулевой, собственный идеал, не принадлежащий $S$, то $L$ разлагается в произведение конечного числа простых идеалов.
Из этого и из (1) следует, что $I$ разлагается в произведение конечного числа простых идеалов, что противоречит принадлежности $I$ к $S$.


исправляется на:

Теорема
---------------

Любой ненулевой собственный идеал разлагается в произведение конечного числа простых идеалов (которое может состоять и из одного сомножителя).

Доказательство
--------------------------

Предположим обратное, и пусть $S$ - множество ненулевых собственных идеалов, которые не разлагаются в конечное число простых идеалов.
Пусть $I$ - максимальный идеал в $S$.
Поскольку $I \in S$, то $I$ не является простым идеалом.
Пусть $J$ - какой-либо простой идеал, содержащий $I$.
Тогда $I$ делится на $J$, следовательно существует такой идеал $L$, что

(1) $I=JL$

Если $L=I$, то из (1) получим $J=G$, в противоречии тому, что $J$ - простой идеал.
Если $L=G$, то из (1) получим $J=I$, в противоречии тому, что $J$ - простой идеал, а $I$ - нет.
Пусть $L$ - идеал, отличный от $I$ и от $G$.
Из (1) следует, что идеал $I$ содержится в идеале $L$.
В силу максимальности идеала $I$ в $S$, идеал $L$ не принадлежит $S$.
Поскольку $L$ - ненулевой, собственный идеал, не принадлежащий $S$, то $L$ разлагается в произведение конечного числа простых идеалов.
Из этого и из (1) следует, что $I$ разлагается в произведение конечного числа простых идеалов, что противоречит принадлежности $I$ к $S$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение03.09.2012, 07:37 


31/03/06
1384
Нас интересует поле $\mathbb{Q}(i_n, \sqrt[n]{2})$ , где $n$ - простое число.
Здесь $i_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$ - корень $n$-ой степени из 1.
Мы уже говорили, что свойства этого поля зависят от того, делится ли $2^{n-1}-1$ на $n^2$ или нет.
Если $2^{n-1}-1$ не делится на $n^2$, то существует простое доказательство ВТФ, основанное на законе взаимности в поле $\mathbb{Q}(i_n)$.
Поэтому, нас особенно интересует случай, когда $2^{n-1}-1$ делится на $n^2$.

Пусть $F=\mathbb{Q}(i_n)$, $K=F(\sqrt[n]{2})$.

Если $2^{n-1}-1$ делится на $n^2$ то в расширении полей $K:F$, каждый идеал поля $F$ разлагается в произведение различных идеалов поля $K$, которые входят в это произведение в первой степени.
Поэтому можно ожидать, что дискриминант расширения $K:F$ равен 1 по абсолютной величине.
Но что такое дискриминант расширения $K:F$? Это норма дифференты расширения $K:F$.
А что такое дифферента? Это новое для меня понятие в теории алгебраических чисел.
Я сейчас занимаюсь изучением этого понятия по Гекке и другим источникам.
Думаю, что скоро смогу написать сообщение на эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение03.09.2012, 23:39 


31/03/06
1384
Исправление
----------------------

Феликс Шмидель в сообщении #614072 писал(а):
Пусть $F=\mathbb{Q}(i_n)$, $K=F(\sqrt[n]{2})$.

Если $2^{n-1}-1$ делится на $n^2$ то в расширении полей $K:F$, каждый идеал поля $F$ разлагается в произведение различных идеалов поля $K$, которые входят в это произведение в первой степени.
Поэтому можно ожидать, что дискриминант расширения $K:F$ равен 1 по абсолютной величине.


исправляется на:

Пусть $F=\mathbb{Q}(i_n)$, $K=F(\sqrt[n]{2})$.

Если $2^{n-1}-1$ делится на $n^2$ то в расширении полей $K:F$, каждый нечётный идеал поля $F$ разлагается в произведение различных идеалов поля $K$, которые входят в это произведение в первой степени.
Поэтому можно ожидать, что дискриминант расширения $K:F$ равен $2^m$, где $m$ - целое положительное число (или идеалу, генерируемому этим числом, чему именно, увидим в дальнейшем).

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение05.09.2012, 13:33 


31/03/06
1384
Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.

Расширение полей $K:F$ называется относительным, в отличие от расширения $K:\mathbb{Q}$, которое называется абсолютным.
Для любого числа $a$ поля $K$ определяются относительный минимальный полином, относительный характеристический полином, относительная норма, относительный след.

Число $g$ является корнем относительного минимального полинома $p(x)$, с коэффициентами из поля $F$.
Все корни полинома $p(x)$ являются также корнями минимального полинома числа $g$ над полем рациональных чисел, с целыми коэффициентами.
Поэтому все корни полинома $p(x)$ являются целыми алгебраическими числами, и все коэффициенты этого полинома, будучи симметричными функциями корней, принадлежат $G_F$.

Пусть $f_1, ..., f_n$ - мономорфизмы из поля $K$ в поле $\mathbb{C}$ комплексных чисел, оставляющие поле $F$ неподвижным.

Каждый из этих мономорфизмов переводит число $g$ в один из сопряжённых с ним корень полинома $p(x)$.

Относительной нормой числа $a \in K$ называется число:

$N_{K/F}(a)=f_1(a) f_2(a)...f_n(a)$,

то есть произведение всех сопряжённых с $a$ относительно поля $F$ чисел (возможно, с повторениями).

Относительным следом числа $a \in K$ называется число:

$T_{K/F}(a)=f_1(a)+ f_2(a)+...+f_n(a)$,

то есть сумма всех сопряжённых с $a$ относительно поля $F$ чисел (возможно, с повторениями).

Полином $(x-f_1(a))(x-f_2(a))...(x-f_n(a))$ называется относительным характеристическим полиномом числа $a$ в поле $K$.

Любому идеалу $I$ кольца $G_F$ соответствует идеал $I G_K$ кольца $G_K$ (где $I G_K$ - произведение множеств чисел).


Лемма
----------

Пусть $I$ - собственный идеал кольца $G_F$.
Тогда $I G_K$- собственный идеал кольца $G_K$.


Доказательство
--------------------

Пусть $r \in F$ - такое алгебраическое число, не являющееся целым, что $rI \subseteq G_F$.
Тогда

(1) $r I G_K \subseteq G_F G_K =G_K$.

Предположим обратное: $I G_K=G_K$.
Тогда из (1) следует:

(2) $r G_K \subseteq G_K$.

Из (2) следует, что $r$ - целое алгебраическое число, в противоречии с выбором числа $r$.


Лемма
------------

Пусть $I$ - идеал кольца $G_F$.
Тогда $G_F \cap (I G_K)=I$.


Доказательство
--------------------

Идеал $I$ содержится в кольце $G_F$ по определению идеала.
Идеал $I$ содержится в $I G_K$, поскольку кольцо $G_K$ содержит $1$.
Значит $I \subseteq G_F \cap (I G_K)$.
Пусть $J=G_F \cap (I G_K)$.
Тогда $J$ - идеал кольца $G_F$, содержащий идеал $I$ и, следовательно, делящий его.
Пусть

(3) $I=JL$, где $L$ - идеал кольца $G_F$.

Умножив равенство (3) на $G_K$, получим: $I G_K=J G_K L=I G_K L=I G_K L G_K$ (равенство $J G_K=I G_K$ следует из $I \subseteq J$ и $J \subseteq (I G_K)$ умножением этих включений на $G_K$), значит:

(4) $I G_K=(I G_K) (L G_K)$

Из (4) следует:

(5) $L G_K=G_K$.

Из (5) и предыдущей леммы следует:

(6) $L=G_F$

Из (3) и (6) следует $I=J$, что и требовалось.


Идеал $I G_K$ разлагается в произведение степеней простых идеалов кольца $G_K$.


Лемма
----------

Пусть $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$.
Тогда $\rho$ является делителем идеала $P G_K$, где $P$ - некоторый простой идеал кольца $G_F$.

Доказательство
----------------------

Пусть $p$ - простое число, делящееся на идеал $\rho$.
Пусть

(7) $p G_F=P_1...P_m$ - разложение идеала $p G_F$ в произведение простых идеалов кольца $G_F$ (среди сомножителей могут быть одинаковые).

Помножив (7) на $G_K$ получим:

(8) $p G_K=(P_1 G_K)...(P_m G_K)$.

Поскольку идеал $\rho$ делит идеал $p G_K$, то $\rho$ делит один из сомножителей в правой части равенства (8), что и требовалось.


Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$ и

(9) $P G_K=\prod_{j=1}^m \rho_j^{e_j}$ - разложение идеала $P G_K$ в произведение степеней простых идеалов

($e_1$, ..., $e_m$ - целые положительные числа).

Говорят, что простые идеалы $\rho_1$, ..., $\rho_m$ (кольца $G_K$) лежат над простым идеалом $P$ (кольца $G_F$).

Показатель степени $e_j$ называется индексом ветвления простого идеала $\rho_j$.
Если индекс ветвления $e_j>1$, то простой идеал $\rho_j$ называется ветвящимся.
Простой идеал $P$ (кольца $G_F$) называется ветвящимся (в кольце $G_K$), если хотя бы один индекс ветвления в разложениии (9) больше $1$.


Лемма
-------------------

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$, и $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$ над идеалом $P$.
Тогда $P=\rho \cap G_F$.


Доказательство
----------------------------

Поскольку идеал $P G_K$ делится на идеал $\rho$, то идеал $\rho$ содержит идеал $P G_K$, который содержит идеал $P$ (поскольку $1 \in G_K$).
Поскольку идеал $\rho$ - простой, то $1 \not \in \rho$, следовательно идеал $\rho$ не содержит кольцо $G_F$.
Поэтому $\rho \cap G_F$ - собственный идеал в $G_F$, содержащий простой идеал $P$.
Следовательно, $P=\rho \cap G_F$, что и требовалось.


Лемма
----------------

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$, и $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$ над идеалом $P$.
Тогда

(10) $N(\rho)=N(P)^f$, где $f$ - некоторое целое положительное число.

В равенстве (10), $N(\rho)$ - абсолютная норма идеала $\rho$ в кольце $G_K$, а $N(P)$ - абсолютная норма идеала $P$ в кольце $G_F$.


Доказательство
---------------------------

Фактор группы по сложению $G_K/\rho$ и $G_F/P$ являются полями (при определении произведения смежных классов, которое было дано ранее).
Подчеркнём ещё раз, что произведение множеств чисел имеет другое определение.
Элементы поля $G_F/P$ не принадлежат полю $G_K/\rho$, поэтому было бы неправильно сказать, что поле $G_K/\rho$ содержит поле $G_F/P$.
Покажем, однако, что поле $G_F/P$ изоморфно некоторому подполю поля $G_K/\rho$.
Определим функцию $\varphi$ из поля $G_F/P$ в поле $G_K/\rho$ следующим образом: $\varphi(P+a)=\rho+a$, где $a$ - какой-либо элемент кольца $G_F$.
Функция $\varphi$ определена корректно, потому что из $(a-b) \in P$ следует $(a-b) \in \rho$ (поскольку $P=\rho \cap G_F$).
Функция $\varphi$ иньективна, потому что из $(a-b) \in \rho$ следует $(a-b) \in P$ (поскольку $P=\rho \cap G_F$; здесь $a \in G_F$ и $b \in G_F$, следовательно $(a-b) \in G_F$).
Функция $\varphi$ является мономорфизмом из одного поля в другое, поэтому образ $\varphi(G_F/P)$ является полем, изоморфным полю $G_F/P$.
Пусть $f=[(G_K/\rho):\varphi(G_F/P)]$ - cтепень расширения полей $(G_K/\rho):\varphi(G_F/P)$.
Базис этого расширения полей имеет $f$ элементов, и имеется $|\varphi(G_F/P)|^f$ различных линейных комбинаций с элементами этого базиса и коэффициентами из поля $\varphi(G_F/P)$.
Таким образом $|G_K/\rho|=|\varphi(G_F/P)|^f=|G_F/P|^f$, что и требовалось.

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$, и $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$ над идеалом $P$.
Целое положительное число $f$, удовлетворяющее равенству (10) называется относительной степенью идеала $\rho$ (кольца $G_K$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение06.09.2012, 21:23 


31/03/06
1384
Пусть $K:F$ - конечное расширение числовых полей, $[K:F]=n$.
Пусть $K=F(g)$, где $g$ - целое алгебраическое число.
Пусть $G_F$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $F$.
Пусть $G_K$ - кольцо всех целых алгебраических чисел поля $K$.


Лемма
---------

Пусть $a$ - какое либо число кольца $G_F$.
Тогда

(1) $N(a G_K)=N(a G_F)^n$.


Доказательство
----------------------

Пусть $p(x)$ - минимальный полином числа $a$ над полем рациональных чисел.
Пусть $f(x)$ - характеристический полином числа $a$ в поле $F$.
Пусть $h(x)$ - характеристический полином числа $a$ в поле $K$.

Поскольку $f(x)$ и $h(x)$ являются степенями полинома $p(x)$, и степень полинома $h(x)$ делится на степень полинома $f(x)$, то полином $h(x)$ является степенью полинома $f(x)$.
Степень полинома $f(x)$ равна $[F:\mathbb{Q}]$, а степень полинома $h(x)$ равна $[K:\mathbb{Q}]$.
Поскольку $[K:\mathbb{Q}]/[F:\mathbb{Q}]=[K:F]=n$, то

(2) $h(x)=f(x)^n$.

Из (2) следует:

(3) $h(0)=f(0)^n$.

Поскольку $N(a G_F)=(-1)^{degree(f(x))} f(0)$ и $N(a G_K)=(-1)^{degree(h(x))} h(0)$, то из (3) следует (1), что и требовалось.


Лемма
----------

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$.
Тогда

(4) $N(P G_K)=N(P)^{n_1}$, где $n_1$ - целое положительное число.

На самом деле $n_1=n$, но это будет доказано в следующей лемме.


Доказательство
--------------------

Определим функцию $\varphi$ из поля $G_F/P$ в кольцо $G_K/(P G_K)$ следующим образом: $\varphi(P+a)=(P G_K)+a$, где $a$ - какой-либо элемент кольца $G_F$.
Функция $\varphi$ определена корректно, потому что из $(a-b) \in P$ следует $(a-b) \in (P G_K)$ (поскольку $1 \in G_K$).
Функция $\varphi$ иньективна, потому что из $(a-b) \in (P G_K)$ следует $(a-b) \in P$ (поскольку $P=G_F  \cap (P G_K)$; здесь $a \in G_F$ и $b \in G_F$, следовательно $(a-b) \in G_F$).
Функция $\varphi$ является мономорфизмом из поля в кольцо, поэтому образ $\varphi(G_F/P)$ является полем, изоморфным полю $G_F/P$.
Кольцо $G_K/(P G_K)$ является векторным пространством над полем $\varphi(G_F/P)$.
Пусть $n_1$ - размерность этого векторного пространства.
Тогда $|G_K/(P G_K)|=|\varphi(G_F/P)|^{n_1}=|G_F/P|^{n_1}$.
Значит $N(P G_K)=N(P)^{n_1}$, что и требовалось.


Лемма
----------

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$.
Тогда $N(P G_K)=N(P)^n$.


Доказательство
---------------------

Пусть простое число $p$ делится на идеал $P$.
Пусть $a$ - такой элемент идеала $P$, что $(a, P(p G_F))=P$ или:

(5) $(\frac{(a G_F)}{P}, p G_F)=G_F$.

Пусть

(6) $a G_F=P_1...P_m$ - разложение идеала $a G_F$ в произведение простых идеалов, где $P_1=P$, и среди сомножителей могут быть одинаковые.

Если $m=1$, то $P=a G_F$ и утверждение этой леммы следует из (1).
Пусть $m>1$.
Беря нормы правой и левой части равенства (6) получим:

(7) $N(a G_F)=N(P_1)...N(P_m)$

Умножая равенство (6) на $G_K$, получим:

(8) $a G_K=(P_1 G_K)...(P_m G_K)$.

Беря нормы правой и левой части равенства (8) и используя (1) и (4), получим:

(9) $N(a G_F)^n=N(P_1)^{n_1}...N(P_m)^{n_m}$, где $n_1$, ..., $n_m$ - целые положительные числа.

Из (7) следует:

(10) $N(a G_F)^n=N(P_1)^n...N(P_m)^n$.

В силу (5) и (6), простое число $p$ не делится на простые идеалы $P_2$, ..., $P_m$.
Поэтому нормы этих идеалов равны степеням других простых чисел (не $p$).
Наибольшая степень простого числа $p$, на которую делится правая часть равенства (9) равна $N(P_1)^{n_1}$.
Наибольшая степень простого числа $p$, на которую делится правая часть равенства (10) равна $N(P_1)^n$.
Значит $n_1=n$, что и требовалось.


Лемма
-----------

Пусть $P$ - простой идеал кольца $G_F$.
Пусть

(11) $P G_K=\prod_{j=1}^m \rho_j^e_j$ - разложение идеала $P G_K$ в произведение степеней простых идеалов.

Пусть $f_1$, ..., $f_m$ - относительные степени идеалов $\rho_1$, ..., $\rho_m$.

Тогда $e_1 f_1+...+e_m f_m=n$.


Доказательство
----------------------

Беря абсолютные нормы правой и левой части равенства (11) получим:

(12) $N(P G_K)=\prod_{j=1}^m N(\rho_j)^{e_j}=N(P)^{(e_1 f_1+...+e_m f_m)}$.

Из предыдущей леммы и (12) следует: $e_1 f_1+...+e_m f_m=n$, что и требовалось.


Пусть $\rho$ - простой идеал кольца $G_K$, и $P$ - простой идеал кольца $G_F$ под идеалом $\rho$.
Пусть $f$ - относительная степень простого идеала $\rho$.

Относительной нормой простого идеала $\rho$ называется идеал (кольца $G_F$):

$N_{K/F}(\rho)=P^f$.

Пусть $I$ - идеал кольца $G_K$.
Пусть $I=\prod_{j=1}^m \rho_j^{k_j}$ - разложение идеала $I$ в произведение степеней простых идеалов.

Относительной нормой идеала $I$ называется идеал (кольца $G_F$):

$N_{K/F}(I)=\prod_{j=1}^m (N_{K/F}(\rho_j))^{k_j}$.

Это определение распространяется и на дробные идеалы $I$ (в этом случае некоторые показатели степеней $k_j$ могут быть отрицательными).


Лемма
----------

Пусть $I$ - идеал кольца $G_F$.
Тогда $N_{K/F}(I G_K)=I^n$ (где $n=[K:F]$).


Доказательство
---------------------

В силу мультипликативности относительной нормы, достаточно проверить лемму в случае простого идеала $I$.
Пусть $I$ - простой идеал кольца $G_F$.
Пусть $I G_K=\prod_{j=1}^m \rho_j^{k_j}$ - разложение идеала $I G_K$ в произведение степеней простых идеалов.
Пусть $f_1$, ..., $f_m$ - относительные степени идеалов$\rho_1$, ..., $\rho_m$.

Тогда $N_{K/F}(I G_K)=I^{(f_1 k_1+...+f_m k_m)}=I^n$, что и требовалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.
Сообщение06.09.2012, 22:01 


16/08/09
304
Феликс Шмидель в сообщении #612235 писал(а):
Это существующая теория алгебраических чисел. Никакого света в конце тоннеля я не вижу.
Я законспектировал около трети книги Гекке "Теория алгебраических чисел".
Закон квадратичной взаимности доказывается в конце книги, и пока я до него дойду возьмёт время.


Увжаемый Феликс Шмидель! Не понимаю, зачем вы приводите конспекты лекций Гекке? Специалисты, думаю, прекрасно о них осведомлены. Не хотите же вы сказать ,что вы являетесь единственным обладателем этой книги? А для дилетантов и ферматиков - это полная абракадабра и галиматья, красивая и непонятная как свист дельфинов.
И если вы не видите света в конце тоннеля, не означает ли это, что после доказательства закона квадратичной зависимости, вы нырнёте в Марианскую впадину доказательства закона кубической зависимости, потом биквадратичной зависимости, а потом завершите всё доказательством закона взаимности Артина? :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 128 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group