2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод Куна-Таккера. Задача нелинейного программирования
Сообщение26.07.2012, 14:04 
Аватара пользователя


17/12/10
538
Найти решение задачи нелинейного программирования применяя условия Куна-Таккера, предварительно исследовав целевую функцию на выпуклость

$\min f=x_{1}^2+2x_{2}^2-16 x_1-20x_2$

$2x_1+5x_2 \le 40$

$2x_1+x_2 \le 16$

$x_1,x_2 \ge 0$

$d_{11}=1\: \: d_{12}=0 \:\: d_{21}=0 \: \:d_{22}=2$

$q_{11}=2 \:\: q_{12}=0 \: \:q_{21}=0 \: \:q_{22}=4$

$\Delta_1=2 > 0$

$\Delta_2=8-0 > 0$
положительно определена
функция строго выпукла вниз

функция Ланграджа

$L(x, \lambda)=x_{1}^2+2x_{2}^2-16 x_1-20x_2+\lambda_1(2x_1+5x_2-40)+\lambda_2(2x_1+x_2-16)$

$\left\{\begin{matrix}
\left ( \frac{\partial L}{\partial x_1} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}= \left .(-16+2x_1+2 \lambda_1+2\lambda_2)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} \geqslant 0 \\ 
\\
x_1^{*} \left ( \frac{\partial L}{\partial x_1} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}= x_1 \left .(-16+2x_1+2 \lambda_1+2\lambda_2)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} = 0 \\ 
\\
\left ( \frac{\partial L}{\partial x_2} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}= \left .(-20+4x_2+5 \lambda_1+\lambda_2)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} \geqslant 0 \\ 
\\
x_2^{*}\left ( \frac{\partial L}{\partial x_2} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}=x_2 \left .(-20+4x_2+5 \lambda_1+\lambda_2)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} = 0 \\ 
\\
\left ( \frac{\partial L}{\partial \lambda_1} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}= \left .(2x_1+5x_2-40)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} \leqslant 0 \\ 
\\
\lambda_1^{*}\left ( \frac{\partial L}{\partial \lambda_1} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}=\lambda_1 \left .(2x_1+5x_2-40)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>}= 0 \\ 
\\
\left ( \frac{\partial L}{\partial \lambda_2} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}= \left .(2x_1+x_2-16)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>} \leqslant 0 \\ 
\\
\lambda_2^{*}\left ( \frac{\partial L}{\partial \lambda_2} \right )_{<x^{*},\lambda^{*}>}=\lambda_2 \left .(2x_1+x_2-16)\right|_{<x^{*},\lambda^{*}>}= 0 \\ 
\\
x_1,x_2. \lambda_1, \lambda_2 \geqslant 0

\end{matrix}\right.$


$\left\{\begin{matrix}

2x_1+2\lambda_1+2\lambda_2 \geqslant 16 \\
4x_2+5 \lambda_1+\lambda_2 \geqslant 20 \\
2x_1+5x_2 \leqslant 40\\
2x_1+x_2 \leqslant 16 \\
x_1,x_2. \lambda_1, \lambda_2 \geqslant 0

\end{matrix}\right.$


$\left\{\begin{matrix}

2x_1+2\lambda_1+2\lambda_2 -u_1 =16 \\
4x_2+5 \lambda_1+\lambda_2 -u_2= 20 \\
2x_1+5x_2 +v_1= 40\\
2x_1+x_2 +v_2=16\\
x_1,x_2. \lambda_1, \lambda_2 \geqslant 0


\end{matrix}\right.$

$x_1u_1=0 \\
x_2u_2=0 \\
\lambda_1 v_1=0 \\
\lambda_2 v_2=0
$

$
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\\
\text{базисные} & \text{свободные} & x_1&x_2&u_1&u_2&v_1&v_2&\lambda_1&\lambda_2 \\
\hline
&16&2&0&-1&0&0&0&2&2 \\
\hline
&20&0&4&0&-1&0 &0&5&1\\
\hline
v_1&40&2&5&0&0&1&0&0&0 \\
\hline
v_2&16&2&1&0&0&0&1&0&0 \\
\end{tabular}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Куна-Таккера. Задача нелинейного программирования
Сообщение26.07.2012, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Комментарии к формулам расставьте. Рисунок нарисуйте. Найдите графически оптимальную точку. Проверьте для неё условие Куна-Таккера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Куна-Таккера. Задача нелинейного программирования
Сообщение26.07.2012, 19:56 
Аватара пользователя


17/12/10
538
Графическим методом её здесь решали: http://dxdy.ru/topic56909.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Куна-Таккера. Задача нелинейного программирования
Сообщение26.07.2012, 20:11 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Sverest в сообщении #599566 писал(а):
функция Ланграджа

Лагранжа :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Куна-Таккера. Задача нелинейного программирования
Сообщение26.07.2012, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Sverest в сообщении #599751 писал(а):
Графическим методом её здесь решали: http://dxdy.ru/topic56909.html

Подставьте оптимальную точку оттуда в вашу большую фигурную скобку и посмотрите, что там получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Куна-Таккера. Задача нелинейного программирования
Сообщение27.07.2012, 02:02 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Sverest, а после введения дополнительных переменных $v_1, v_2, u_1, u_2$ в задании не требуется применить метод искусственного базиса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Куна-Таккера. Задача нелинейного программирования
Сообщение27.07.2012, 02:41 
Аватара пользователя


17/12/10
538
Shtorm в сообщении #599903 писал(а):
Sverest, а после введения дополнительных переменных $v_1, v_2, u_1, u_2$ в задании не требуется применить метод искусственного базиса?


Нет, ни о чем таком в задании не говорится

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Куна-Таккера. Задача нелинейного программирования
Сообщение27.07.2012, 16:35 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Sverest, ну вот лично я знаком только с таким решением задачи выпуклого программирования, в котором после введения этих дополнительных переменных используется метод искусственного базиса.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group