Разрезание многоугольника на параллелограммы

[Ktina]

При каких натуральных $n\ge 3$ не существует $n$-угольника (даже невыпуклого), который можно разрезать на конечное число параллелограммов?

[TOTAL]

3, 5

[Ktina]

TOTAL в сообщении #599531 писал(а):

3, 5

То, что треугольник не разрежешь, - очевидно. У него ни одна из сторон не параллельна ни одной другой.
Если пятиугольник выпуклый - тоже всё понятно. А вот если впуклый - тут как-то доказывать надо

[TOTAL]

Ktina в сообщении #599535 писал(а):

Если пятиугольник выпуклый - тоже всё понятно. А вот если впуклый - тут как-то доказывать надо

Для каждой стороны должна найтись ей параллельная. При чем здесь пуклость?

[Ktina]

TOTAL в сообщении #599538 писал(а):

Ktina в сообщении #599535 писал(а):

Если пятиугольник выпуклый - тоже всё понятно. А вот если впуклый - тут как-то доказывать надо

Для каждой стороны должна найтись ей параллельная. При чем здесь пуклость?

При том, что если пятиугольник впуклый, то для некоторой стороны может найтись не одна параллельная ей, а скажем, две.

-- 26.07.2012, 14:02 --

Ой нет, пардон, как раз с пятиугольником такого произойти не может.
На этом и основано доказательство?

[Ktina]

Кажется, поняла.
Если пятиугольник можно разрезать на параллелограммы, то множество его сторон можно разбить на непустые непересекающиеся подмножества из попарно параллельных сторон. На три подмножества стороны пятиугольника разбить нельзя, так как в каждом из таких подмножеств должно быть не менее двух сторон. Но если разобьём на два или на одно, то хотя бы три стороны окажутся попарно параллельными, что в для пятиугольника невыполнимо.

Таким образом, ответ TOTAL верен: $\{3, 5\}$.

Вот пример для 7:

(0, 0), (0, 2), (1, 2), (2, 3), (3, 3), (2, 2), (2, 0)
Это, разумеется, в ЦСКА ПДСК.