2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Декартово произведение множеств
Сообщение21.07.2012, 09:32 


21/07/12
104
Требуется показать, что справедливо :
$X \times Y$ = \varnothing  \Leftrightarrow (X = \varnothing) \bigvee (Y = \varnothing)

Я честно говоря, не знаю даже с чего начать. Но есть некоторые мысли:
Можно расписать декартово произведение, по определению, как
$X \times Y := (x,y) | (x \in X) \bigwedge (y \in Y)$
Соответственно дальше мне хочется, приравнять всё это дело пустому множеству, и затем воспользоваться тем, что для $\bigwedge$ равенство пустому множеству, тоже самое, что равенство нулю и получить что
$ (X = \varnothing) \bigvee (Y = \varnothing)$

Буду благодарен, если кто-нибудь, подскажет верный путь.

p.s понимаю, что вопрос, по сути тривиален, но более ничего путного, к несчастью, в голову не лезет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение21.07.2012, 09:37 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Ну, давайте начнём со следующего. У Вас стрелочка вот такая: $\Leftrightarrow$. То есть Вам надо доказать, что верны два утверждения:

1) Если $X = \varnothing$ или $Y = \varnothing$, то $X \times Y = \varnothing$.
2) Если $X \times Y = \varnothing$, то $X = \varnothing$ или $Y = \varnothing$.

Вам оба пункта непонятны или какой-то один из них понятен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение21.07.2012, 09:40 


21/07/12
104
Цитата:
Вам оба пункта непонятны или какой-то один из них понятен?


В принципе, оба непонятны , по первому, я высказал свои предположения, в обратную стороны, мыслей, пока что не наблюдается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение21.07.2012, 09:41 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Хорошо, оба пункта непонятны.

Вы знаете, что такое доказательство от противного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение21.07.2012, 09:47 


21/07/12
104
Цитата:
Вы знаете, что такое доказательство от противного?


В моем представлении, это, когда мы, предполагаем, что то, что мы хотим доказать, неверно.
И через это приходим к противоречию

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение21.07.2012, 09:53 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Ну да, примерно так. Но не обязательно приходить к противоречию. Предлагаем неверным то, что хотим доказать, и выводим, что неверны исходные условия.

Вот, например, первый пункт. Предположим, что $X \times Y \neq \varnothing$. Тогда множество $X \times Y$ содержит некоторый элемент, который является парой $(x,y)$ при $x \in X$ и $y \in Y$. Но раз $x \in X$ и $y \in Y$, то $X \neq \varnothing$ и $Y \neq \varnothing$. Что и требовалось.

Видите, как всё просто! Давайте второй пункт самостоятельно, тоже методом от противного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение21.07.2012, 09:59 


21/07/12
104
Тогда получается, что мы предполагаем, что $X \neq \varnothing \bigwedge Y \neq \varnothing$ тогда из определение декартова произведения следует, что при данном предположении, оно не может равняться пустому множеству. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение21.07.2012, 10:05 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
oniksofers в сообщении #597444 писал(а):
Так?

Ну да, так. Раз $X \neq \varnothing$ и $Y \neq \varnothing$, то существуют $x \in X$ и $y \in Y$. Но тогда имеем $(x,y) \in X \times Y$ и $X \times Y \neq \varnothing$.

Маленькое замечание по оформлению. Не надо для бинарных конъюнкции и дизъюнкции использовать большие знаки $\bigwedge$ и $\bigvee$. Они предназначены для другого. Пишите обычны $\wedge$ и $\vee$, будет красивее. А конъюнкцию ещё можно обозначать так: $\mathop{\&}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение21.07.2012, 10:10 


21/07/12
104
Хорошо.
Огромное спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение22.07.2012, 16:08 


21/07/12
104
Снова требуется помощь, хотя точнее, сказать правильно я мыслю в новой задаче или нет.
Пусть $\bigtriangleup_X$ диагональ множества $X^2$ и $\bigtriangleup_Y$ - диагональ множества $Y^2$. Требуется показать, что если отношения $R_1$\subset X \times Y и $R_2$\subset Y \times X таковы, что
$(R_2\circ R_1 =\bigtriangleup_X )\wedge(R_1\circ R_2 =\bigtriangleup_Y)$, то оба они функциональны и задают взаимно обратные отображения множеств X и Y.

Для того, чтобы доказать, что данные отношения функциональны, надо доказать, что
$(xR_1y_1)\wedge(xR_1y_2)\rightarrow y_1=y_2$
$(yR_2x_1)\wedge(yR_2x_2)\rightarrow$ x_1=x_2

Пусть $y_1,y_2 \in Y$ и $x \in X$
Тогда воспользовавшись композицией отношений имеем
$R_1\circ R_2$ := [( y_1,y_2) | \exists x (y_1R_2x) \wedge (xR_1y_2)]
Но $R_1\circ R_2 =\bigtriangleup_Y$ $\rightarrow$ $y_1 = y_2$

Аналогично, Пусть $x_1,x_2 \in X$ и $y \in Y$ Рассматриваем композицию
$R_2\circ R_1$ получаем, что $x_1 = x_2$ Значит рассматриваемые отношения функциональны. Правильна ли эта выкладка?? Если да то как доказать биективность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение22.07.2012, 16:12 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
oniksofers в сообщении #597904 писал(а):
Для того, чтобы доказать, что данные отношения функциональны, надо доказать, что
$(xR_1y_1)\wedge(xR_1y_2)\rightarrow y_1=y_2$
$(yR_2x_1)\wedge(yR_2x_2)\rightarrow$ x_1=x_2

Не только это надо доказать, а ещё две вещи: $\forall x \exists y (xR_1y)$ и $\forall y \exists x(yR_2x)$.

-- Вс июл 22, 2012 19:14:20 --

oniksofers в сообщении #597904 писал(а):
Правильна ли эта выкладка??

На мой взгляд нет, неправильна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение22.07.2012, 16:20 


21/07/12
104
Как я понимаю для правильности выкладки, не хватает, лишь док-ва
$\forall x \exists y (xR_1y)$
$\forall y \exists x (yR_2x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение22.07.2012, 16:22 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
oniksofers в сообщении #597910 писал(а):
Как я понимаю для правильности выкладки, не хватает, лишь док-ва
$\forall x \exists y (xR_1y)$
$\forall y \exists x (yR_2x)$

Не только этого. Я Вашей выкладки вообще не понял, она показалась мне не имеющей никакого отношения к делу.

-- Вс июл 22, 2012 19:25:41 --

Вам нужно доказать $(xR_1y_1 \mathop{\&} xR_1y_2) \Rightarrow (y_1 = y_2)$. А Вы зачем-то доказываете $(xR_1y_2 \mathop{\&} y_1R_2x) \Rightarrow (y_1 = y_2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение22.07.2012, 16:35 


21/07/12
104
Да, бред написал я, пойду дальше думать.

Ничего в голову не идет. Как по мне нужно воспользоваться тем, что композиции отношений равны диагоналям соответствующих множеств, но как из этого вывести что отношения функциональны, ума не приложу ..

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение множеств
Сообщение22.07.2012, 17:27 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
oniksofers в сообщении #597918 писал(а):
Ничего в голову не идет.

А Вы по порядку.

Сначала докажите, что $\forall x \exists y (xR_1y)$ и $\forall y \exists x(yR_2x)$, это совсем просто.

Возьмите $x$, $y_1$ и $y_2$, для которых $xR_1y_1$ и $xR_1y_2$. Для $y_1$ существует $x_1$ такой, что $y_1R_2x_1$. Из условия задачи выведите, что $x = x_1$. Значит, $y_1R_2x$. Далее... продолжите самостоятельно, я и так уже много подсказал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group