Исследовать на выпуклость функцию

[Sverest]

Исследовать на выпуклость в $R^2$ функцию

$$f(x)=\frac12 xQx^T+Rx^T$$

$x=(x_1,x_2)$
$R=(4;1)$
$Q=\begin{pmatrix} 4&2 \\ 2& 3 \end{pmatrix}$

Я правильно записал в нематричной форме:
$f(x_1)=\frac12 \cdot 4x_1+2x_2+4 \cdot 4 x_1+2x_2 + 1 \cdot 4x_1+2x_2$
$f(x_2)=\frac12 \cdot 2x_1+3x_2+4 \cdot 2 x_1+3x_2 + 1 \cdot 2x_1 +3x_2$

Каким способом лучше исследовать?

[svv]

В матричной форме было $xQx^T$, потом одна степень куда-то испарилась.

[Профессор Снэйп]

Sverest в сообщении #596351 писал(а):

Каким способом лучше исследовать?

Вычисляете вторую производную, это матрица $2 \times 2$, смотрите, где она положительно определена.

[Sverest]

$f(x)=\frac12 xQx^T+Rx^T$
зачем в этой формуле $x$ после $\frac12$
что было бы если его не было?

[svv]

Гм... не нравится — выбросьте его к черту, решайте ту задачу, которая Вам больше по душе!

[Алексей К.]

Ну как это --- "зачем"? Такая задача, такая функция задана.
Если бы его не было --- была бы другая задача, с другим условием, с другой функцией, с другим решением, с другим ответом (почти устная, кстати). Не нравится — выбросьте этот икс к черту, решайте ту задачу, которая Вам больше по душе.

[Sverest]

Может так надо было записать?

$f(x_1)=\frac12 x_1\cdot (4x_1+2x_2)+4 \cdot (4 x_1+2x_2) + 1 \cdot (4x_1+2x_2)$

$f(x_2)=\frac12 x_2 \cdot (2x_1+3x_2)+4 \cdot (2 x_1+3x_2) + 1 \cdot (2x_1 +3x_2)$

(Оффтоп)

Цитата:

выбросьте его к черту

Не поминайте, пожалуйста, это существо

[Алексей К.]

Нет. Уверен --- нет.
Надо как-то исхитриться и понять смысл всех этих обозначений, буковок, и проч. В частности, $f(x)$.
Ну нельзя без этого. Можно н е знать пока решений, --- но понимать, чего от тебя хотят.
А так, в угадывалки играть, по-моему нельзя.
Ну и конечно, это не тот вопрос, который лично я бы взялся здесь так вот ля-ля-объяснить.

[svv]

Хорошо, Sverest, не буду, простите!
А не поможет ли Вам, хотя бы чисто психологически, такой промежуточный вариант записи?:
$xQx^T= \begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$
Здесь три сомножителя — два произведения. Попробуйте найти одно из них, потом результат умножить на оставшийся множитель.

[Sverest]

svv в сообщении #596390 писал(а):

$xQx^T= \begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&2\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$

это будет
$x_1(4x_1+2x_2)+x_2(2x_1+3x_2)=4x_1^2+3x_2^2+4x_1x_2$

[svv]

Да, правильно. Не забудьте потом ещё на $\frac 1 2$ умножить.

[Sverest]

$f(x)=2x_1^2+\frac32x_2^2+2x_1x_2+4x_1+x_2$

$f'(x)=2x_1+5x_2+5$

это правильно:$ (2x_1x_2)'=2(x_1'x_2-x_1x_2')$ ?

возрастает на $(-\infty; 2,5)$
убывает на $(2,5; \infty)$

больше ничего не надо исследовать?

[Профессор Снэйп]

Sverest в сообщении #596416 писал(а):

$f(x)=2x_1^2+\frac32x_2^2+2x_1x_2+4x_1+x_2$

$f'(x)=2x_1+5x_2+5$

это правильно:$ (2x_1x_2)'=2(x_1'x_2-x_1x_2')$ ?

возрастает на $(-\infty; 2,5)$
убывает на $(2,5; \infty)$

больше ничего не надо исследовать?

Шо це за бред?

[Алексей К.]

Ваше $(x)$ --- это пара координат $(x_1,x_2)$, это точка на плоскости (а не на прямой), и $f(x)$ здесь следует читать и понимать как $f(x_1,x_2)$, функцию двух переменных. И на плоскости всё не так просто, как было на прямой, и возрастания-убывания могут быть разными в зависимости от направления (раньше направление было одно, теперь их тьма), и про возрастание-убывания Вас в задаче не спрашивают, и дифференцирование теперь не так, и...

Sverest,

ну почитайте же книги, учебники на эту тему! Всё это здесь объяснять невозможно.
Какой толк ковыряться в задачах, не понимая, о чём речь?

[Sverest]

Алексей К. в сообщении #596460 писал(а):

ну почитайте же книги, учебники на эту тему!

Как называется эта тема, почему то не нашел такой пример в методичке по методам оптимизации