натуральное число

[Capella]

Существует-ли натуральное число, полностью состоящие из цифр 1 и имеющее делитель 1999.

Источник: KOEMAL, Венгрия

[ИСН]

Банально. МТФ. Существует, как и для любого вообще нечётного числа, не делащегося на 5.

[maxal]

$$\frac{10^{\varphi(1999)} - 1}{9}$$

[Capella]

Да, рекордные сроки, я только страницу обновить успела (видимо время ушло лишь на набитие текста )

[bot]

А можно и не знать МТФ.
Достаточно рассмотреть последовательность 1, 11, 111, ...
и воспользоваться принципом Дирихле.

Добавлено спустя несколько минут:

Вот, не поленился проверить на калькуляторе, что 10 примитивный корень по простому модулю 1999.
Следовательно наименьшее потребное число единиц в искомом числе будет 1998.

[Руст]

Число из k единиц делится на 1999 тогда и только тогда, когда k делится на 999 (10 квадратичный вычет по простому модулю 1999).

[bot]

Ага, квадратичный вычет - начав естественно с символа Лежандра, умудрился в нём сбиться, с делением 1998 пополам не справился.

Очевидно тогда, что всякое такое k делится на наименьшее из них, а наименьшее делит 999.
Руст, Вы его делители проверили?

Добавлено спустя несколько минут:
$10^{333} \equiv 1190 \ (\mod 1999) $
$10^{27} \equiv 816 \ (\mod 1999) $
Если не накосячил опять, то это доказывает сказанное Рустом.