2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Старая задача о мощности вентилятора
Сообщение14.07.2012, 13:30 
Аватара пользователя


21/11/11
185
Добрый день.

Есть такая старая задача: во сколько раз нужно увеличить мощность вентилятора, чтобы частота вращения его лопастей возросла в 2 раза.

Правильный ответ, насколько я знаю, "в 8 раз". Рассуждения при этом таковы: мощность вентилятора расходуется на разгон газа, то есть переходит в его кинетическую энергию. Частота вращения выросла в 2 раза $\Rightarrow$ поток вырос в 2 раза $\Rightarrow$ скорость выросла в 2 раза $\Rightarrow$ кинетическая энергия единицы объёма выросла в 4 раза. Умножаем на поток, получаем, что общий расход энергии в единицу времени увеличился в 8 раз, то есть $P\sim\omega^3$.

Теперь, собственно, вопрос. Почему неверна такая цепочка рассуждений: мощность вентилятора расходуется на компенсацию силы трения. Поскольку скорости явно дозвуковые, положим $F_\text{тр}\sim v_\text{лоп}\sim \omega$. А общее расстояние, пройденное точкой на лопасти тоже пропорционально частоте. Отсюда $P\sim F_\text{тр}\cdot dS/dt\sim \omega^2$, и мощность требуется увеличить только в 4 раза.

Поскольку ответы разные, где-то ошибка. А вот где? Нутром чую связь с парадоксом Даламбера...

 Профиль  
                  
 
 Re: Старая задача о мощности вентилятора
Сообщение14.07.2012, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Наверное тут "оба правы".
Энергия вращения частично расходуется на (1) упорядоченное движение газа (вызывающее ускорение в 2 раза больших масс до скорости, в 2 раза большей), и частично — на (2) неупорядоченное, турбулентные вихри, частично ускоряющие газ и частично его нагревающие.
(1) увеличивает мощность в 8 раз, а (2) — в 4. Кстати, ещё какая-то часть тратится на нагрев подшипников, проводов и бог знает на что ещё, и тут возможна даже линейная или ещё какая-нибудь зависимость.
Какие пропорции в распределении (1), (2), и т.п. были до ускорения, и как эти пропорции изменились после, вряд ли возможно понять без экспериментов или сложных моделей. Возможно, если вентилятор поместить в трубу, преобладающим будет расход по (1) варианту. Но в общем случае правильный ответ: не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Старая задача о мощности вентилятора
Сообщение18.07.2012, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Если сила трения - то она от скорости вообще не зависит. А если сила сопротивления воздуха - то зависит квадратично.
У реального (и исправного вентилятора) основное сопротивление - от сопротивления воздуха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Старая задача о мощности вентилятора
Сообщение18.07.2012, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ilia_ в сообщении #595185 писал(а):
Поскольку скорости явно дозвуковые, положим $F_\text{тр}\sim v_\text{лоп}\sim \omega$.

Переход от линейного закона к квадратичному происходит не на скорости звука, а на переходе от ламинарного течения к турбулентному. То есть, намного раньше. У вентилятора обтекание лопастей турбулентное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Старая задача о мощности вентилятора
Сообщение18.07.2012, 21:28 


23/01/07
3415
Новосибирск
На уровне догадок: При увеличении скорости колеса в 2 раза в те же 2 раза возрастет скорость молекул воздуха, соответственно, в 4 раза увеличится их кинетическая энергия. При этом и количество молекул воздуха, контактирующих с колесом, увеличится в 2 раза.

-- 19 июл 2012 01:45 --

Кстати, ветрогенераторщики тоже используют такую зависимость, т.е. "при увеличении скорости ветра в 2 раза можно снять энергии в 8 раз больше" (кубическая зависимость).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group