2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 правило множителей Лагранжа (пример)
Сообщение07.07.2012, 02:12 
Аватара пользователя


17/12/10
538
В методичке есть пример на правило множителей Лагранжа, помогите разобраться:

Найти условный экстремум функции $f(x)=x_1+2x_2$ при условии $x_1^2+x_2^2=5$

Решение:
Составим функцию Ланграджа

$$L(x, \lambda_0, \lambda_1)=\lambda_0(x_1+2x_2)+\lambda_1(x_1^2+x_2^2-5)$$

(почему в конце -5?)

и рассмотрим два случая: (почему именно 2 случая?)

Первый: Пусть$ \lambda_0 = 0$, тогда $\lambda_1 \ne$ 0 и $L(x, \lambda_0, \lambda_1)=\lambda_1(x_1^2+x_2^2-5)$

Запишем условие стационарности:
(как его получили?)
$$
\begin{cases}
$L'_{x_1}=2\lambda_1 x_1=0$\\
$L'_{x_2}=2\lambda_1 x_2=0$\\
x_1^2+x_2^2=5
\end{cases}
$$

Т.к.$ \lambda_1 \ne 0$ то данная система несовместна

Второй случай. Пусть $ \lambda_0 \ne 0$, тогда $ \lambda_0 = 1$ (почему 1) и

$L(x, \lambda_0, \lambda_1)=x_1+2x_2+ \lambda_1 (x_1^2+x_2^2-5)$

Запишем условие стационарности:
(как его получили?)
$$
\begin{cases}
L'_{x_1}=1+2\lambda_1 x_1=0\\
L'_{x_2}=2+2\lambda_1 x_2=0\\
x_1^2+x_2^2=5}
\end{cases}
$$Никаких долларова внутри $$\begin{cases} ... \end{cases}$$ быть не должно (здесь исправил). //AKM
Эта система имеет 2 решения (как их получили?)

$$
x^{(1)} \begin{cases}
x_1=-1\\
x_2=-2\\
\lambda_1=0.5}
\end{cases}$$
$$
x^{(2)} \begin{cases}
$x_1=1$\\
$x_2=2$\\
\lambda_1=-0.5}
\end{cases}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: правило множителей Лагранжа (пример)
Сообщение07.07.2012, 09:23 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
1) Потому что в канонической постановке задачи на условный экстремум (а точнее на минимум) накладываемые условия записываются с нулем в правой части: $\varphi(x)=x_1^2+x_2^2-5=0$; и соответственно функции в правых частях уже и используются для построения функции Лагранжа (также там еще могут присутствовать условия неравенства: $\varphi_i\leqslant0$).
2) и 4) Два этих принципиальных случая - это регулярность ($\lambda_0>0$) и не регулярность ($\lambda_0=0$) решения задачи. А в случае $\lambda_0>0$ берется $\lambda_0=1$ от того, что множители Лагранжа $\lambda_i$ определяются неоднозначно, а с точностью до ненулевой мультипликативной константы (при этом все $\lambda_i$ должны быть не меньше 0 и не все одновременно обращаться в 0).
3) и 5) Необходимо приравнять все частные производные (по каждой из переменных $x_i,\;\lambda_j$) функции Лагранжа к нулю (либо только по $x_i$, но при этом учесть и накладываемые условия). А еще надо не забыть условие дополнительной нежесткости, если имеются условия с неравенствами: $\lambda_i\varphi_i=0$.
6) Выразили $x_1,\;x_2$ через $\lambda_1$ из первых 2-ух уравнений (с учетом того, что $\lambda_1\neq0$, т.к. иначе система станет несовместной). После чего подставили в 3-е уравнение, получили квадратное уравнение относительно $\lambda_1$, нашли корни, вычислили иксы.

А вообще, если вы хотите обоснование этих фактов и понять почему именно так, а не иначе, то лучше обратиться к более серьезной литературе, нежели к методичке.

 Профиль  
                  
 
 Re: правило множителей Лагранжа (пример)
Сообщение07.07.2012, 09:27 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Sverest в сообщении #592942 писал(а):
(почему в конце -5?)

Видимо, формулировки теорем записывают дополнительное условие в виде $F(x_1,x_2)\color{magenta}=0$. Стало быть, данное Вам $x_1^2+x_2^2\color{magenta}=5$ следует переписать в виде $$\underbrace{x_1^2+x_2^2-5}_{F(x_1,x_2)}=0.$$
И обратите внимание на поправки к записи формул (вставил в первое сообщение).

 Профиль  
                  
 
 Re: правило множителей Лагранжа (пример)
Сообщение07.07.2012, 15:42 
Аватара пользователя


17/12/10
538
Что можно почитать чтоб разобраться как решать такие примеры?

 Профиль  
                  
 
 Re: правило множителей Лагранжа (пример)
Сообщение08.07.2012, 21:58 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Sverest в сообщении #593081 писал(а):
Что можно почитать чтоб разобраться как решать такие примеры?

1) В. С. Климов, А. Ю. Ухалов. Правило множителей Лагранжа в курсе математического анализа.
2) Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — изд. 2-е, испр. и доп. — М.: ФАЗИС, 1997 (глава VIII, § 7, стр. 516-528).
3) Пантелеев А. В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие / А. В. Пантелеев, Т. А. Летова. — М.: Высш. шк., 2002 — 544 с.: ил. (глава I, § 3, стр. 81-100).
4) Ларин Р. М., Плясунов А. В., Пяткин А. В. Методы оптимизации. Примеры и задачи: Учеб. пособие / Новосиб. ун-т. Новосибирск, 2003. — 115 с. (стр. 12-20).
5) Васильев Ф. П. Методы оптимизации. — М.: Издательство "Факториал Пресс", 2002. — 824 с. (часть I, глава 4, § 8, стр. 211-217).
6) Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа: Пер. с англ.— М.: Радио и связь, 1987. — 400 с.: ил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group