2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение02.07.2012, 17:23 
Аватара пользователя


17/12/10
538
Объясните что такое "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравнений, случай действительных корней

Какую литературу почитать на эту тему?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение03.07.2012, 22:38 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Березин И.С., Жидков Н.П. - Методы вычислений, Том 2, Глава 7, $\S$ 3 (стр. 103-128).

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.09.2012, 10:22 
Аватара пользователя


17/12/10
538
Спасибо за учебник!

В этом учебнике на странице 106 (второй том) есть пример:
Рассмотрим в качестве примера решение методом Лобачевского уравнения:

$x^4-35x^3+380x^2-1350x+1000=0$

промежуточные вычисления в таблице:

$\begin{tabular}{c|c|r|r|r|r|r}

m& &a_0&a_1&a_2&a_3&a_4 \\
\hline
0& &1&-35&380&-1350&10^3  \\
\hline
 & a_i^2&1&1225&144400&1822500&10^6  \\
 & -2a_{i-1} a_{i+1}& &-760&-94500&-760000& \\
 & 2a_{i-2} a_{i+2}& & &2000& & \\
\hline
1& &1&465&51900&1062500&10^6  \\
\hline
& a_i^2&1&216225&269361 \cdot 10^4&112891 \cdot 10^7&10^{12}  \\
 & -2a_{i-1} a_{i+1}& &-103800&-98813 \cdot 10^4&-10380 \cdot 10^7& \\
 & 2a_{i-2} a_{i+2}& & &200 \cdot 10^4& & \\
\hline
2& &1&112425&170748 \cdot 10^4&102511 \cdot 10^7&10^{12}  \\
\hline

 
\hline
\end{tabular}$

$\begin{tabular}{c|c|r|r|r|r|r}
m& &a_0&a_1&a_2&a_3&a_4 \\
\hline
& a_i^2&1&1263938 \cdot 10^4&291549 \cdot 10^{13}&105085 \cdot 10^{19}&10^{24}  \\
& -2a_{i-1} a_{i+1}& &-341496 \cdot 10^4&-23050 \cdot 10^{13}&-341 \cdot 10^{19}& \\
 & 2a_{i-2} a_{i+2}& & &.... & & \\
\end{tabular}$

Странно в одной таблице если пишешь, выдает syntax error, пришлось на две разбить

Меня интересует почему в последней строке поставили 4 точки

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.09.2012, 10:37 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Sverest в сообщении #615003 писал(а):
Меня интересует почему в последней строке поставили 4 точки

Видимо опустили, т.к. не влезает в ячейку.
Sverest в сообщении #615003 писал(а):
Странно в одной таблице если пишешь, выдает syntax error, пришлось на две разбить

Да, какие-то проблемы имеются с tabular, только у меня не Syntax Error выдаёт, а Source Not Found (может стоит в раздел по работе форума написать?). Вот array прекрасно справляется:
$\begin{array}{c|c|r|r|r|r|r}
m& &a_0&a_1&a_2&a_3&a_4 \\
\hline
0& &1&-35&380&-1350&10^3  \\
\hline
 & a_i^2&1&1225&144400&1822500&10^6  \\
 & -2a_{i-1} a_{i+1}& &-760&-94500&-760000& \\
 & 2a_{i-2} a_{i+2}& & &2000& & \\
\hline
1& &1&465&51900&1062500&10^6  \\
\hline
& a_i^2&1&216225&269361 \cdot 10^4&112891 \cdot 10^7&10^{12}  \\
 & -2a_{i-1} a_{i+1}& &-103800&-98813 \cdot 10^4&-10380 \cdot 10^7& \\
 & 2a_{i-2} a_{i+2}& & &200 \cdot 10^4& & \\
\hline
2& &1&112425&170748 \cdot 10^4&102511 \cdot 10^7&10^{12}  \\
\hline
& a_i^2&1&1263938 \cdot 10^4&291549 \cdot 10^{13}&105085 \cdot 10^{19}&10^{24}  \\
& -2a_{i-1} a_{i+1}& &-341496 \cdot 10^4&-23050 \cdot 10^{13}&-341 \cdot 10^{19}& \\
 & 2a_{i-2} a_{i+2}& & &.... & & \\
\end{array}$

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.09.2012, 10:47 
Аватара пользователя


17/12/10
538
Написано, что прекратить квадрирование нужно когда $c_i \approx b_i^2$
это я должен то что написано в строке $m=2$ сравнивать со строкой $m=1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.09.2012, 10:57 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Нет. В примере ведь 6 шагов (ну или 5, т.к. с 0 нумерация). А, кажется понял, там вместо точек получается $0{,}2\cdot10^{13}$ и для суммированния это слагаемое является несущественным. Собственно также и в остальных ячейках с точками.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.09.2012, 11:00 
Аватара пользователя


17/12/10
538
chessar в сообщении #615018 писал(а):
Нет. В примере ведь 6 шагов (ну или 5, т.к. с 0 нумерация). А, кажется понял, там вместо точек получается $0{,}2\cdot10^{13}$ и для суммированния это слагаемое является несущественным. Собственно также и в остальных ячейках с точками.


Как тогда определить когда закончить квадрирование, если другой пример будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.09.2012, 11:10 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
"Нет" - это был ответ на то что точки означают не окончание алгоритма. А так всё правильно, останавливать, когда $c_i\approx b_i^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.09.2012, 15:16 
Аватара пользователя


17/12/10
538
Написано $ z_1=402067 \cdot 10^{74}\;\; \lg z_1=79,6042985 $
Для чего это определяли, откуда взяли $\lg$, почему именно $\lg$?

$\frac{1}{64}\lg z_1=1,2438172$ откуда взяли $\frac{1}{64}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.09.2012, 16:11 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Что-то не особо как-то подробно расписан метод Лобачевского-Греффе. Описан и обоснован подробно ход одного шага квадрирования. А в общем алгоритм не расписан. Ну если почитать дальше, там где точность метода определяется, то вроде становится ясно. Мы квадрировали корни $m$ (в примере - это 6) раз - фактически в итоге возвели в степень $N=2^m$. Значит корни будут
\[x_i=z_i^{\frac{1}{N}}=\left(\frac{b_i}{b_{i-1}}\right)^\frac{1}{2^m}\]
А логарифмы взяты - видимо для удобство расчётов.
Всё-таки не очень в плане подробного описания алгоритма я Вам книгу посоветовал. Поищу что-нибудь ещё и обязательно напишу позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.09.2012, 19:18 


20/04/12
147
Есть еще книжица. I.Ф.Тесленко, О.М.Костовський
МЕТОД ЛОБАЧЕВСКОГО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ. (На Украинском языке)

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.09.2012, 19:27 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.
Беланов А.А. Решение алгебраических уравнений методом Лобачевского. 1989.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение11.09.2012, 17:43 
Аватара пользователя


17/12/10
538
chessar в сообщении #615139 писал(а):
А логарифмы взяты - видимо для удобство расчётов.


А без логарифмов как считать, просто мне надо этот метод на языке программирования написать.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.10.2012, 13:29 
Аватара пользователя


17/12/10
538
chessar в сообщении #615139 писал(а):
Мы квадрировали корни $m$ (в примере - это 6)


Откуда взялось 6?

$x_1$ находили так?


$\[x_1=\left(\frac{402067 \cdot 10^{74}}{1}\right)^\frac{1}{2^6}\]$

а потом $f(x_1)=-0,02$ как нашли?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Метод Лобачевского-Греффе" для решения алгебраических уравн
Сообщение05.10.2012, 13:53 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Sverest в сообщении #627219 писал(а):
а потом как нашли?
Ну как откуда? 1-ая колонка таблицы (там даже написано $m$). Т.е. было выполнено 6 шагов квадрирования. А почему именно 6 шагов? Потому-что было (видимо) принято, что когда порядок чисел станет больше $10^{100}$, то нужно остановиться (смотреть по последней колонке). В другом источнике (Беланов А.А. Решение алгебраических уравнений методом Лобачевского. 1989) вроде бы там надо остановиться если будет больше $10^{50}$.
Sverest в сообщении #627219 писал(а):
находили так?
Да так, если конечно в скобочках у вас $z_i$ (я уже писал Вам формулу). Перед глазами нет той таблички, поэтому я не помню какой там $z_i$.
Sverest в сообщении #627219 писал(а):
Откуда взялось 6?
Ну уж я там не знаю как авторы нашли это - может подставили и на калькуляторе посчитали или еще как-то :).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group