2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 19  След.
 
 Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 11:30 


15/12/05
754
Данный пост пишу для тех, кто ещё верит, что существует простое решение ВТФ.

К счастью, форум позволяет экспериментировать в этом направлении и подпитывать чьи-то надежды.

Известно, что в конечных полях, существует бесконечное множество решений основного уравнения ВТФ, а в целых положительных числах нет ни одного решения.

Чтобы как-то обозначить такую ситуацию с решениями, будем называть решения в конечном поле “фантомными”, если они не имеют решений в целых положительных числах. Возможно, что в математике есть другой термин. Во всяком случае не всегда взгляды на термины однозначны. Так, у нас используется термин - формула ускоренного умножения, почему-то везде используют другой термин - формула факторизации. Вам понятно как ускоряется умножение в формуле? Мне не очень.

Переходим к сути темы. Как Вы, наверное, уже поняли, ВТФ будем доказывать методом фильтрации фантомных решений.

Предположим, что ВТФ не доказана. В таком случае, предполагаем, что не все решения в конечных полях будут фантомными и определенная часть из них, возможно, имеет решения в целых положительных числах. Назовем возможные решения – истинными решениями.

Суть метода заключается в том, чтобы показать, что для любой тройки (x, y, z) всегда найдется конечное поле, в котором имеются только фантомные решения и отсутствуют истинные решения.

Доказательство проведем для показателя степени n=3. (Для других показателей, как ни странно, доказательство не сильно усложняется.)

$x^3+y^3=z^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)$ (1)

$0<x<y<z$ (2)

$(x+y)>z $ (3)

$(x,y)=1; (y,z)=1; (z,x)=1$ (4)

$x_1^3= z-y$ (5)

$x_2^3=z^2+zy+y^2 = 3zy + (z-y)^2=3zy+x_1^6$ (6)

$(x_1, x_2)=1 $ (7)

$x=x_1x_2$ (8)

$0<x_1<{ \{ x_1^2 \} \ ? \ \{ x_2 \}}< x <y<z$ (9)

$x_1^6 \equiv_{ \{ 3zy \}} x_2^3$ (10)

$x_1^2 \equiv_{ \{ 3zy \}} x_2$ (11)

(11) противоречит (7), т.к.

{$x_1^2,  x_2$}$<x<y<3zy$ (12)

Два натуральных числа $x_1^2,  x_2$ из отрезка $[1; 3zy]$ сравнимы по модулю $3zy$ тогда и только тогда, когда они равны. Так как сравниваемые числа значительно меньше модуля, то делаем вывод о равенстве чисел. Такое равенство противоречит условию (7), для целых положительных чисел, уравнения (1), т.к. числа имеют общий множитель $x_1$. Это доказывает, что возможно только фантомное решение уравнения (1).

Таким образом, показано, что можно получить для любой пары $z, y$ – положительное число $x_1$, которое является обязательной частью решения уравнения (1). Но значение $x_1^2$ всегда сравнимо с $x_2 $ по модулю $3zy.$ Учитывая, что предложенный для доказательства модуль значительно превышает $x_1^2$, делаем вывод, что решение уравнения (1) является фантомным.

Пример, пусть $y=5, z=6$

В таком случае, $x_1=1$, $x_2=1^2=1$.

Действительно, $1^3+5^3 \equiv_{ \{ 3 \cdot 5 \cdot 6 \}} 6^3$

Из (11) следует также противоречие с (3).

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 11:51 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ananova в сообщении #590907 писал(а):
$x^3+y^3=z^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)$ (1)
Странная система равенств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 11:54 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
ananova в сообщении #590907 писал(а):
$x^3+y^3=z^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)$ (1)

$0<x<y<z$ (2)

$(x+y)>z $ (3)

А я бы, заботясь о читателях моих опусов, писал(а):
$$x^3+y^3=z^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)\eqno(1)$$
$$0<x<y<z\eqno(2)$$
$$(x+y)>z \eqno(3)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 11:55 


15/12/05
754
nnosipov

Да, это я "сгоряча", конечно:

$x^3=z^3-y^3$ в левой части.

-- Вс июл 01, 2012 11:57:31 --

AKM

Ой, да, сначала сделал так как сделал, потом решил, как Вы предложили, - написать по центру, но ... не поправить теперь! Возьму на заметку на будущее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 11:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ananova в сообщении #590907 писал(а):
$x_1^3= z-y$ (5)
А это откуда следует? Почему $z-y$ будет точным кубом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 12:00 


15/12/05
754
nnosipov в сообщении #590919 писал(а):
ananova в сообщении #590907 писал(а):
$x_1^3= z-y$ (5)
А это откуда следует? Почему $z-y$ будет точным кубом?


Решил не доказывать то, что до нас уже 100 раз доказали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 12:03 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Так ссылочку бы привели. Не на все 100 раз, а, например, на лучший вариант.

-- 01 июл 2012, 13:05 --

 i  И совершенно ни к чему целиком цитировать предыдущее сообщение.
(Ну, если Вы подозреваете, что автор его тут же исправит, то...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 12:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ananova в сообщении #590922 писал(а):
Решил не доказывать то, что до нас уже 100 раз доказали.
Это доказали при дополнительном условии, что $x$ не делится на $3$. А если $x$ делится на $3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 12:08 


15/12/05
754
AKM в сообщении #590925 писал(а):
Так ссылочку бы привели. Не на все 100 раз, а, например, на лучший вариант.


Ну лучший, которому можно доверять - в книге Последняя теорема Ферма на странице 116 русского издания.

Известны, как соотношения Барлоу. После Барлоу соотношения были выведены и для Случая 2 многочисленными авторами.

-- Вс июл 01, 2012 12:10:59 --

nnosipov в сообщении #590938 писал(а):
ananova в сообщении #590922 писал(а):
Решил не доказывать то, что до нас уже 100 раз доказали.
Это доказали при дополнительном условии, что $x$ не делится на $3$. А если $x$ делится на $3$?



Да, вот тут Вы правы. Не подумал над этим. Скорей всего не обойти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 12:19 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ananova в сообщении #590939 писал(а):
После Барлоу соотношения были выведены и для Случая 2 многочисленными авторами.
Точную ссылку приведите.

-- Вс июл 01, 2012 16:25:44 --

ananova в сообщении #590939 писал(а):
Да, вот тут Вы правы. Не подумал над этим. Скорей всего не обойти?
Всё, что имеем, см. на стр. 121 перед списком литературы. (Я так понял, что вы имели в виду книгу Рибенбойма "Последняя теорема Ферма для любителей", М.: Мир, 2003.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 12:29 


15/12/05
754
nnosipov в сообщении #590948 писал(а):
ananova в сообщении #590939 писал(а):
После Барлоу соотношения были выведены и для Случая 2 многочисленными авторами.
Точную ссылку приведите.


Что тут сказать?.. Для Случая 2 я не рассматривал (забыл или просто поспешил). А соотношения для Случая 2 можно найти на странице 119 Рибенбойма. В интернет - сейчас погуглю. Но, однозначно, что будет примерно так:

$$z-y=3^{3n-1}x_{ \{1' \}}^3$$
$$x_2^3=3x_{ \{2' \}}^3$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 12:35 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ananova, всё уже разъяснилось. Просто случай 1 для $n=3$ тривиален, поэтому представляет интерес только случай 2. Им и надо заниматься.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 12:37 


15/12/05
754
nnosipov в сообщении #590956 писал(а):
ananova, всё уже разъяснилось. Просто случай 1 для $n=3$ тривиален, поэтому представляет интерес только случай 2. Им и надо заниматься.


Да, спасибо, профессионально быстро нашли дырку.

-- Вс июл 01, 2012 13:10:46 --

Если рассматривать простейший Случай 2, когда $x$ кратно только числу 3, то, если чего не перепутал:


$$3^{4}x_{ \{1' \}}^6 + 3zy = 3x_{ \{2' \}}^3$$

Сократим на 3:

$$3^{3}x_{ \{1' \}}^6 + zy =x_{ \{2' \}}^3$$

Тогда имеем сравнение:

$$3x_{ \{1' \}}^2 \equiv_{zy} x_{ \{2' \}}$$



$x_{ \{2' \}}$ меньше $y$ и $3x_{ \{1' \}}^2$ меньше $y$, что ведет к указанным ранее противоречиям.


Аналогично, для делителей $x$: $3^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 15:02 


15/12/05
754
Пример для Случая 2

Пусть $y=5, z=8$$$x=3 \cdot x_{ \{1' \} }^2 \cdot  x_{ \{1' \} } $$
В таком случае, x_{ \{1' \} }=1$, $x_{ \{2' \} }=3$.
$$3^3+5^3 \equiv_{ \{ 5 \cdot 8 \}} 8^3$$

Что противоречит (3):
$$ x+y>z$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение01.07.2012, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
ananova в сообщении #590957 писал(а):
$x_{ \{2' \}}$ меньше $y$ и $3x_{ \{1' \}}^2$ меньше $y$, что ведет к указанным ранее противоречиям.


Аналогично, для делителей $x$: $3^n$.
Ох уж мне это "аналогично"... Если одна из неизвестных $x$, $y$ или $z$ делится на $3^2$, то противоречия не получается.

ananova в сообщении #590954 писал(а):
$$x_2^3=3x_{ \{2' \}}^3$$
Вы ничего не напутали? И вообще, обозначения надо бы объяснять.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group