2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19  След.
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение19.03.2013, 11:22 


03/03/12
1380
Батороев в сообщении #698033 писал(а):
Вроде бы дал "полный ключ" к расшифровке свего предыдущего шифрованного сообщения.


ishhan в сообщении #698050 писал(а):
Эти уравнения эквивалентны, так как "природа" об этом позаботилась.


"Природа", конечно, позаботилась, но нам это надо доказать. (Если не ошибаюсь, то Батороев предлагает вернуться к вопросу об эквивалентности; к тому же Ontt так и не ответил (не нашла) на мой вопрос по этому поводу обоснованно).
Повторяю своё мнение:
1). При $p=2$ уравнения эквивалентны (доказано).
2). При произвольных $p$ не доказано.
3). Для конкретных, например, $p=3$ не ясно. (ishhan, предлагает проверить некоторое свойство; считаю, что проверка в его исполнении будет выглядеть надёжнее.)
(Возможно, для ($p=3$) что-то получится).

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение19.03.2013, 12:02 


21/11/10
546
Euler proved the general case of the theorem for n=3, Fermat n=4, Dirichlet and Lagrange n=5. In 1832, Dirichlet established the case n=14. The n=7 case was proved by Lamé (1839; Wells 1986, p. 70), using the identity
$(X+Y+Z)^7-(X^7+Y^7+Z^7)=7(X+Y)(X+Z)(Y+Z) [(X^2+Y^2+Z^2+XY+XZ+YZ)^2+XYZ(X+Y+Z)] $
(15)

Это кусочек текста из http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html.
Из которого следует, что разложение тринома на множители применялось для доказательства ВТФ уже в 1832 году, до падения крепостного права в России.

TR63 в сообщении #698070 писал(а):
2). При произвольных $p$ не доказано.

Доказано для простых показателей $p$ самой природой, то есть фактом существования разложения на множители формы:
$$(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p=pW^3(x,y,z)W^{p-3}(x,y,z)$$
так для $p=7$ имеем известное ещё в древние времена:
$W^{p-3}(x,y,z)=[(X^2+Y^2+Z^2+XY+XZ+YZ)^2+XYZ(X+Y+Z)]$
и соответственно $W^3(x,y,z)=(X+Y)(X+Z)(Y+Z)
$
ТР63! сомнения по поводу эквивалентности уравнений для простых $p$ можно смело отбросить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение19.03.2013, 12:05 


06/02/13
325
Чтобы не возникало путаницы, предлагаю тождественность обозначать соответствующим знаком $\equiv$.

TR63 в сообщении #698070 писал(а):
к тому же Ontt так и не ответил
Если Вас не затруднит, напишите еще раз вопрос, пожалуйста, явно и однозначно обозначая в нем все составляющие (например, говоря о неком уравнении, просьба писать не "уравнение", "это уравнение", "то самое уравнение", а просто привести его математическую запись).

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение19.03.2013, 12:13 


23/01/07
3415
Новосибирск
ishhan в сообщении #698050 писал(а):
Соответственно "природе" и здравому смыслу, уравнениями будем называть: $x^3+y^3+z^3=0$ и $(x+y+z)^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$ и никогда в дальнейшем не будем называть эти уравнения тождествами:)

Поток сознания - это хорошо, но вы все же по существу ответьте: можно ли в этих уравнениях (пусть будет по-вашему) произвести замену одного из чисел без замены других?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение19.03.2013, 12:24 


06/02/13
325
TR63, есть замечательный сайт http://www.wolframalpha.com. Можно попросить его разложить на множители, например, многочлен $(x+y+z)^{37}-x^{37}-y^{37}-z^{37}$, вписав в строке запроса:
Код:
factor ((x+y+z)^37-x^37-y^37-z^37)
Результат достаточно показательный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение19.03.2013, 13:04 


03/03/12
1380
Ontt, ishhan,
конечно, то, что вы предлагаете мне проверить,-это уровень пятого класса. Мой вопрос не об этом (уже не знаю, как объяснить; мои сомнения изложены в, так называемом, круге первом; если непонятно изложено, можно пока не обращать внимания, может в ходе дальнейшего обсуждения сомнение исчезнет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение19.03.2013, 13:31 


21/11/10
546
Батороев в сообщении #698079 писал(а):
ishhan в сообщении #698050 писал(а):
Соответственно "природе" и здравому смыслу, уравнениями будем называть: $x^3+y^3+z^3=0$ и $(x+y+z)^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$ и никогда в дальнейшем не будем называть эти уравнения тождествами:)

Поток сознания - это хорошо, но вы все же по существу ответьте: можно ли в этих уравнениях (пусть будет по-вашему) произвести замену одного из чисел без замены других?


Встречный вопрос: поток сознания в дифференциальном виде это дивергенция или ротор?
Теперь по существу.
В уравнениях можно производить замену переменных.
Не буду напоминать вам о якобиане и коэффициентах Ламе, а скажу только пару слов о линейной линейной замене в ВТФ.
Конечно старые и новые переменные нужно обозначать разными "букафками" (тут я, как и вы, забыл про шифры)
Можно сделать замену$ x+y=u$,$ x+z=v$ $y+z=t$.
После такой замены ВТФ запишется как:$$(u+v+t)^3=24uvt$$
Теперь пойдём дальше и ответим можно ли делать такую замену:$-x-y-z=u_1$, $y=v_1$, $z=t_1$
К "букафкам" добавим индексы, что бы не запутаться.
Замена теперь другая, меняется только одно переменное (число)$ u=-x-y-z$, а два других(числа) переменных мы оставили без изменения, но это несущественно.
Уравнение ферма ВТФ3 теперь выглядит как:
$$-u_1^3=3(u_1+t_1)(u_1+v_1)(t_1+v_1)$$
Пора уже рассматривать уравнение Ферма с учётом разложимости триномиального тождества и для любых линейных замен переменных.
Главное, что бы любое рассмотрение соответствовало словесной формуле уравнения Ферма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение19.03.2013, 18:49 


23/01/07
3415
Новосибирск
ishhan в сообщении #698117 писал(а):
Главное, что бы любое рассмотрение соответствовало словесной формуле уравнения Ферма.

Слово "словесной" можно было бы и упустить. Ну да ладно, и так пойдет.

А теперь сравните с тем, что вы предлагали:
ishhan в сообщении #697897 писал(а):
То есть уравнение $(x+y+z)^3=(x+y)(x+z)(y+z)$ не имеет решения.
Как опираясь на этот факт доказать, то что $(x+y+z)^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$ так же не имеет решения пока не ясно.

Такое "рассмотрение не соответствует словесной формуле уравнения Ферма".

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение19.03.2013, 19:12 


16/08/09
304
Ontt в сообщении #697988 писал(а):
Нет, не следует. Простой пример: $4=2 \cdot 2= (-2) \cdot (-2)$.


Уважаемый Ontt! Огромное спасибо! Всё понял :D Это всё минусы :?
$(-6+2)(-6+3)=(1+2)(1+3)$

$(-4)(-3)=(3)(4)$

$(12)=(12)$

-- Вт мар 19, 2013 20:32:46 --

ishhan в сообщении #698050 писал(а):
На всякий случай давайте договоримся считать тождеством выражение:
$$(x+y+z)^3= x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)$$


Уважаемый ishhan! Наконец-то до меня дошло, но вы тоже ещё тот "жук"! :D Заморочили головушку своими словесными вкусностями! :wink:
1. Итак
ishhan в сообщении #698013 писал(а):
Тождество это равенство которое выполняется для всех возможных значений переменных.

Рассмотрим "многострадальное" тождество:
$(x+y+z)^3= x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)$
Сделаем одинаковые преобразования в левой и правой части, что бы тождество сохранилось:

$(x+y+z)^3+x^3+y^3+z^3 = x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)+x^3+y^3+z^3$

$(x+y+z)^3+(x^3+y^3+z^3) = 2(x^3+y^3+z^3)+3(x+y)(y+z)(z+x)$

Пусть $(x^3+y^3+z^3)=0$, подставим в обе части:

$(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$
У нас по - прежнему тождество -равенство которое выполняется для всех возможных значений переменных.
При подстановке $s=-x-y-z$
Равенство нарушается:
$(-x)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$
ТО есть получается, что $(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$ не тождество и значит $(x^3+y^3+z^3)=0$ не верно? Остаётся показать, что это справедливо для целых чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение19.03.2013, 21:42 


16/08/09
304
Belfegor в сообщении #698369 писал(а):
$(x+y+z)^3+(x^3+y^3+z^3) = 2(x^3+y^3+z^3)+3(x+y)(y+z)(z+x)$

Пусть $(x^3+y^3+z^3)=0$, подставим в обе части:

$(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$


Нет, тождество нарушается и-за неравноценного обнуления $(x^3+y^3+z^3)$ и $2(x^3+y^3+z^3)$ :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение19.03.2013, 23:32 


06/02/13
325
Belfegor в сообщении #698369 писал(а):
ТО есть получается, что $(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$ не тождество и значит $(x^3+y^3+z^3)=0$ не верно?
Вы верно заметили, что $(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$ не тождество. Но это не значит, что $(x^3+y^3+z^3)=0$ не верно. Это значит только то, что $(x^3+y^3+z^3)=0$ не может быть верным для всех чисел. Оно верно только для некоторых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение20.03.2013, 09:12 


03/03/12
1380
Ontt,
теперь Ваша позиция мне стала более понятна (спасибо (не смотря на то, что разъяснение адресованно не мне)).
Вот, это:
Ontt в сообщении #698492 писал(а):
Belfegor в сообщении #698369 писал(а):
ТО есть получается, что $(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$ не тождество и значит $(x^3+y^3+z^3)=0$ не верно?
Вы верно заметили, что $(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$ не тождество. Но это не значит, что $(x^3+y^3+z^3)=0$ не верно. Это значит только то, что $(x^3+y^3+z^3)=0$ не может быть верным для всех чисел. Оно верно только для некоторых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение20.03.2013, 12:30 


21/11/10
546
Батороев в сообщении #698350 писал(а):
А теперь сравните с тем, что вы предлагали:
ishhan в сообщении #697897 писал(а):
То есть уравнение $(x+y+z)^3=(x+y)(x+z)(y+z)$ не имеет решения.
Как опираясь на этот факт доказать, то что $(x+y+z)^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$ так же не имеет решения пока не ясно.

Такое "рассмотрение не соответствует словесной формуле уравнения Ферма".

На самом деле уравнение $$(x+y+z)^3=(x+y)(x+z)(y+z)$$ является как бы тестовым.
Я его предложил для проверки гипотезы и не более того.
Так, в нём нет никаких численных множителей или скаляров, алгебраические множители в количестве трёх штук линейные $(x+y)(x+z)(y+z)$
Оно не имеет решений, так как условия целостности сводятся к уравнению не имеющему решения в действительных числах (если я ничего не напутал с применением неравенства Коши для решения уравнения $a^3+b^3+c^3=2abc$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение27.03.2013, 16:24 


21/11/10
546
Вношу поправку.
Уравнение $(x+y+z)^3=(x+y)(x+z)(y+z)$ не имеет решения в натуральных числах.
Доказать неразрешимость этого уравнения в целых числах традиционными методами пока не получается.
Это уравнение сложнее мнимого уравнения Ферма: $(x+y+z)^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$ и в более общем виде его можно записать как:
$$(x+y+z)^3=3^m(x+y)(x+z)(y+z)$$
При $m=1$ оно сводится к уравнению Ферма.
При $ m=2$ решения есть.
Но, есть ли закономерность существования решений зависящая от значения показателя $m$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтрация фантомных решений
Сообщение28.03.2013, 13:37 


03/03/12
1380
ishhan,
если Вы, рассматриваете переменную m в области натуральных чисел и предполагаете экстраполировать некоторое качество по этой переменной, то переменные x,y,z необходимо рассматривать тоже в области натуральных чисел. Интересно, тогда при $m=2$ есть решения?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group