2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простые задачи для разминки
Сообщение26.01.2007, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
1.Решить уравнение $(((x^2-2)^2-2)^2-2)^2-…-2=0$, в котором $-2$ встречается $n$ раз.
2.Обозначим через $f^n(x)$ суперпозицию функции $f(x)$, т.е. $f^n(x)=f(f(f(..f(x)..)))$ - $n$ раз. Найти функцию $f(x)$, для которой $n=\frac{1}{(f^{n+1}(x))^2}-\frac{1}{(f(x))&^2}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.01.2007, 05:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
1) $x=2\cos\frac{\pi(2k+1)}{2^{n+1}}$, $k=0,1,\ldots,2^n-1$

Добавлено спустя 8 минут 59 секунд:

2) Например, $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Добавлено спустя 4 минуты 26 секунд:

А лучше
$$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}},&x\ne0;\\1,&x=0.\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.01.2007, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Все верно.
Первое сводится к $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}=x$. Выражение слева содержит $n$ радикалов. Используем формулу $cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac 1 2 (1+cos x)}$ или $2cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{2+2cos(x)}$. Далее подставляя эту формулу саму в себя получаем: $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}=2cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})$. А дальше нужно учесть степень у $x$.
Во втором берем $n-1=\frac{1}{(f^n(x))^2}-\frac{1}{(f(x))^2}$. Предполагаем $\frac{1}{(f^n(x))^2}=\frac{1}{x^2}+n$, $\frac{1}{(f(x))^2}=\frac{1}{x^2}+1$. Получаем $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, $f^n(x)=\frac{x}{\sqrt{1+nx^2}}$. В последнем убеждаемся индукцией.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group