2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Двайной маятник
Сообщение24.06.2012, 13:21 


24/06/12
2
Помогите решить задачу 3.4.17 из задачника Савченко


3.4.17. Собственные частоты двойного маятника равны ω1 и ω2. Длина
нити, связывающей шарики маятника, равна l. В состоянии равновесия нижнему
шарику сообщили небольшую скорость v. Определите максимальное отклонение
нижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхний
шарик с потолком.


Двойной маятник означает, что от шарика одного (верхнего) маятника подвешен еще один (нижний) маятник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двайной маятник
Сообщение24.06.2012, 16:48 


24/06/12
2
На случай, если кто то захочет посмотреть рисунок, привожу ссылку откуда возможно посмотреть задачник Савченко

http://www.inp.nsk.su/~telnov/mech/zada ... chenko.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Двайной маятник
Сообщение24.06.2012, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
На этом форуме принято сначала приводить попытки самостоятельного решения. Потом вам начнут отвечать. И пишите вместо ω1 и ω2 - $\omega_1$ и $\omega_2$, получится $\omega_1$ и $\omega_2.$

Олимпиадного в этой задаче ничего нет, стандартная учебная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двайной маятник
Сообщение24.06.2012, 19:34 


25/03/10
590
И пишите "двойной".

 Профиль  
                  
 
 Re: Двайной маятник
Сообщение24.06.2012, 20:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #588581 писал(а):
Олимпиадного в этой задаче ничего нет, стандартная учебная.

Но ведь не для физматдетишек же, коим адресован задачник!

Формально там надо решать систему из двух дифуров второго порядка. И если собственные частоты (и, соответственно, вторую длину) ещё можно, наверное, подобрать, исходя из соображений здравого смысла, то вот с подгонкой под начальные условия -- уже хуже. Я даже не уверен, что ответ в книжке насчёт максимального отклонения правилен -- там ввиду несоизмеримости периодов явно должно выползти нечто трансцедентное.

Про отсутствие упоминания в условии задачки про соотношение масс лучше уж и вовсе умолчим.

-- Вс июн 24, 2012 21:40:13 --

Munin в сообщении #588581 писал(а):
Олимпиадного в этой задаче ничего нет, стандартная учебная.

Но ведь не для физматдетишек же, коим адресован задачник!

Формально там надо решать систему из двух дифуров второго порядка. И если собственные частоты (и, соответственно, вторую длину) ещё можно, наверное, подобрать, исходя из соображений здравого смысла, то вот с подгонкой под начальные условия -- уже хуже. Я даже не уверен, что ответ в книжке насчёт максимального отклонения правилен -- там ввиду несоизмеримости периодов явно должно выползти нечто трансцедентное.

Про отсутствие упоминания в условии задачки про соотношение масс лучше уж и вовсе умолчим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двайной маятник
Сообщение11.09.2012, 19:00 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
Ответ:$$
Если частоты $\omega _1,\omega _2$ несоизмеримы, то максимальное отклонение нижнего шарика от положения равновесия
$\sup \mid x(t)\mid = \frac {v}{\mid\omega _2^2-\omega _1^2\mid}\{\frac {\mid \omega _2^2-\frac gl\mid}{\omega _1}+\frac {\mid \omega _1^2-\frac gl\mid}{\omega _2}\}$,
длина нити, связывающей верхний шарик с потолком
$L=g(\frac {1}{\omega _1^2}+\frac {1}{\omega _2^2})-l$.
Несмотря на относительную простоту ответа, "олимпиадного" решения не нашел, задачу решал "технически":
Так как в начальный момент верхний шар покоится, то движение будет происходить в одной плоскости (вращение Земли и другие эффекты не учитываем).
Обозначим абсолютные отклонения от вертикали, длину нити и массу верхнего шара через $X(t)$, L, M, а нижнего через $x(t)$, l, m.
Тогда лагранжиан в линейном приближении (очень малые отклонения):
$L_S=M\frac {\dot X^2}{2}+m\frac {\dot x^2}{2}-g(\frac{M+m}{L}+\frac ml)\frac {X^2}{2}-g\frac ml\frac {x^2}{2}+g\frac ml Xx$.
Уравнения движения:
$M\ddot X+g(\frac{M+m}{L}+\frac ml)X-g\frac ml x=0$,
$m\ddot x+g\frac ml x-g\frac ml X=0$.
Ищем гармонические решения, получаем уравнение частот:
$\omega ^4 - (1+\frac mM)(\frac 1l+\frac 1L)g\omega ^2 +(1+\frac mM)\frac{g^2}{Ll}=0$.
Уравнение частот имеет два решения $\omega _1, \omega _2$, которые по теореме Виета связаны отношением
$\omega _1^2+\omega _2^2=(1+\frac mM)(\frac 1l+\frac 1L)g$,
$\omega _1^2\omega _2^2=(1+\frac mM)\frac{g^2}{Ll}$,
откуда легко находим
$l+L=g(\frac {1}{\omega _1^2}+\frac {1}{\omega _2^2})$.
Вычислив с учетом начальных условий амплитудные векторы системы находим в явном виде график движения нижнего шара:
$x(t) = \frac {v}{\omega _2^2-\omega _1^2}\{\frac {(\omega _2^2-\frac gl)}{\omega _1}\sin{\omega _1t}-\frac {(\omega _1^2-\frac gl)}{\omega _2}\sin{\omega _2t}\}$.
Если частоты $\omega _1,\omega _2$ несоизмеримы, то получаем вышеприведенный ответ, если соизмеримы - простой ответ не просматривается.
При максимальном отклонении шары покоятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двайной маятник
Сообщение11.09.2012, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
MajorUrsus
За решение стандартных учебных задач, вместо спрашивающих, здесь полагается по шапке от модераторов. Политика такая: мы не решаем за людей задачи, а только помогаем им самим их решать, подсказываем и наталкиваем на решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двайной маятник
Сообщение11.09.2012, 19:30 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
Ну вот, весь кайф мне обломали...
Мне казалось здесь, на подфоруме "Олимпиадные", можно предлагать решения.
А если задача из разряда "Помогите решить, разобраться", то ее надо как-то обозначить, показать, что нельзя решать или переместить. А то я собираюсь решать и другие задачи, так что: молчать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двайной маятник
Сообщение11.09.2012, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Нет, если вы предлагаете своё решение на оценку окружающим, тогда нормально. Но следите, чтобы это всё-таки не было прямой подсказкой возможным халявщикам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двайной маятник
Сообщение12.09.2012, 18:31 


02/12/07
54
Башкирия, г. Ишимбай
Спасибо, учту Ваш совет в будущем.
К счастью прошло уже почти 3 месяца с даты опубликования задачи, халявщик уже получил по заслугам.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group