2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение15.06.2012, 12:11 
Заморожен


10/10/11
109
Мне бы понять, как решать задачи на тему деление с остатком, так остальные может бы и сам решил.
Может кто покажет решение хоть первых трёх?
1. Какие числа можно представить в виде разности двух квадратов целых чисел?
2. Если $p$ простое число, большее трёх, то $p^2 - 1$ делится на 24.
3. При каких $n$ число $2^n − 1$ делится на $7$?
4. Известно, что сумма нескольких натуральных чисел делится на 6. Докажите, что сумма кубов этих чисел тоже делится на 6.
5. Докажите, что если целочисленная арифметическая прогрессия содержит квадрат целого числа, то она содержит бесконечно много квадратов целых чисел.
6. Три целых числа связаны соотношением $x^2 + y^2 = z^2$. Докажите, что $x$ или $y$ делится на 3.
7. Шестизначное число делится на 7. Докажите, что, если последнюю его цифру переставить в начало, то полученное число тоже будет делиться на 7.
8. Найдите три попарно взаимно простых числа таких, что сумма любых двух из них делится на третье.
9. Докажите, что простые числа большие трёх можно записать в одном из двух видов: $6n + 1$ либо $6n-1$ , где n натуральное число.
10. Докажите, что если сумма квадратов двух чисел делится на 3, то и каждое из этих чисел тоже делится на 3.
11. Дано натуральное число $N$. К нему справа приписывают по одной цифре, кроме девятки. Докажите, что рано или поздно получится составное число.
12. Докажите, что существует бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить в виде суммы
а) трёх кубов;
б) семи шестых степеней целых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение15.06.2012, 12:19 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
1. Вообще умейте строить рабочие гипотезы... попытайтесь посмотреть, какие числа представимы, а какие нет. Начитывать решения нужно только в сложных задачах, и то если вы уже почувствовали её сложность и сдались. А так к олимпиадам подготовиться нельзя.
2. Во второй задаче $p^2-1$, а не то, что у вас написано... Вспоминаем опять же разность квадратов, и думаем, на что же должна делиться каждая скобка.
3. Ну блин, ну это же детский сад... или опечатка...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение15.06.2012, 12:20 
Заморожен


10/10/11
109
Прошу прощения. Сейчас подправлю условие. Копировал просто с книги, так съела некоторые данные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение15.06.2012, 12:36 
Заслуженный участник


08/04/08
8251
В 3 достаточно знать, что $p\neq q\Rightarrow p\not\equiv 0\pmod q$. А дальше просто перебор остатков.
4. Погуглите малую теорему Ферма.
В общем правда - изложите попытки решения, а то детсад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение15.06.2012, 13:47 
Заморожен


10/10/11
109
Так-с.
С 1 задачей вроде как справился.
Пусть $a$ - первое число, $b$-второе. Какие числа можно представить ввиде $a^2-b^2$.
$(a-b)(a+b)$ То бишь мы можем представить числа, кратные $a-b$ и $a+b$ одновременно.
Или надо как-то по-другому доказывать?
2 задача.
Для начала докажем справедливость для $5$. Начиная с 7 будем рассматривать общий случай.
$p^2-1 = (p-1)(p+1)$. Множители должны делится на $4$ и $6$.
3 задача.
Заметил, что $2^n-1$ делится на 7 при $n$, кратном $3$.
при n=3 $2^3-1:7$. при $2^{n+3}=8\cdot2^n$, $(8\cdot2^n-1):7$

Так правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение15.06.2012, 16:52 
Заслуженный участник


08/04/08
8251
ZARATUSTRA в сообщении #585353 писал(а):
3 задача.
Заметил, что $2^n-1$ делится на 7 при $n$, кратном $3$.
при n=3 $2^3-1:7$. при $2^{n+3}=8\cdot2^n$, $(8\cdot2^n-1):7$
Да, на пальцах по индукции все проходит :-) Можете еще для ясности записать формулу для всех таких $n$.

ZARATUSTRA в сообщении #585353 писал(а):
2 задача.
Для начала докажем справедливость для $5$. Начиная с 7 будем рассматривать общий случай.
$p^2-1 = (p-1)(p+1)$. Множители должны делится на $4$ и $6$.
А дальше что?

ZARATUSTRA в сообщении #585353 писал(а):
Пусть $a$ - первое число, $b$-второе. Какие числа можно представить ввиде $a^2-b^2$.
$(a-b)(a+b)$ То бишь мы можем представить числа, кратные $a-b$ и $a+b$ одновременно.
Или надо как-то по-другому доказывать?
По-другому :-( Я переформулирую: при каких $n$ уравнение $n=a^2-b^2$ имеет решение. Здесь можно начать чисто эмпирически - поискать закономерность. А дальше все увидите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение15.06.2012, 19:46 


16/03/11
837
No comments
$p^2-1=(p-1)(p+1)$ рассмотрим числа $p-1,p,p+1$ Три последовательных числа где p нечетно и не делится на 3 значит 2 числа p-1 и p+1 четных,2 последовательных четных чисел,значит одно из них делится на 2 а другое на 4.При этом либо p-1 либо p+1 делится на три.Значит $p^2-1$ при простых p больших 3 делится на 24

-- Пт июн 15, 2012 20:00:48 --

9)$p\equiv -1,1\pmod 6$ Где p простое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение15.06.2012, 20:39 


03/02/12

530
Новочеркасск
12 - посмотрите по мод.9 - у 3-ей степени это 0, 1, 8. У 6-ой степени - 0 и 1. Дальше, думаю, понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение15.06.2012, 21:48 


16/03/11
837
No comments
6)Пусть х и у не делится на 3.Тогда $x^2$ и $y^2$ будут давать остаток 1 при делении на 3. Значит $x^2+y^2\equiv 2\pmod 3$ Но $z^2\equiv 0,1\pmod 3$ Следовательно либо х либо у делится на 3

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение16.06.2012, 06:12 
Заслуженный участник


08/04/08
8251

(Оффтоп)

Вот я же говорю, что легкие задачи. Но ZARATUSTRA почему-то забил :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение16.06.2012, 07:53 


26/08/11
1594
alexo2 в сообщении #585514 писал(а):
12 - посмотрите по мод.9 - у 3-ей степени это 0, 1, 8. У 6-ой степени - 0 и 1. Дальше, думаю, понятно.
Не нужна шестая степень, т.к у кубов по модулю 9 остатки 0,1,-1, то числа $9k\pm 4$ уже непредставимы в виде суммы трех кубов

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение16.06.2012, 08:04 


16/03/11
837
No comments
ZARATUSTRA в сообщении #585306 писал(а):
Мне бы понять, как решать задачи на тему деление с остатком, так остальные может бы и сам решил.

Вы же не только должны задачи решпть но и знать почему это так и как это применяется.Вот здесь написано немного на тему Сранение по модулю ну и естественно задачи к теме прилагаются http://www.trushinbv.ru/4/1/1/files/mod.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение16.06.2012, 08:06 


26/08/11
1594
Аааа, извините,alexo2
Вы про подусловие б) говорили

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение16.06.2012, 09:52 
Заморожен


10/10/11
109
Sonic86 в сообщении #585623 писал(а):

(Оффтоп)

Вот я же говорю, что легкие задачи. Но ZARATUSTRA почему-то забил :-(

(Оффтоп)

Я на это дело вообще забил. Начал 5 дней назад этим темы изучать, но что-то не идёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите разобраться, как решать такие задачи. Делимость mod
Сообщение16.06.2012, 10:05 


03/02/12

530
Новочеркасск
Shadow в сообщении #585636 писал(а):
Аааа, извините,alexo2
Вы про подусловие б) говорили


Ну, да... И сразу видно, что все возможные сочетания слагаемых не охватывают в сумме весь нат. ряд с определенной периодичностью...
А насчет того, что ТС "забил" - зря, если чуть-чуть напрячь мозги и разобраться - ничего сложного нет. Зато будет приобретен мощный инструмент для решения различного рода задач...

Кстати, по многим задачам из списка - элементарно решаются с применением МТФ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group