ТВ: Невозможные события.

[gris]

Навеяно недавним обсуждением независимых событий, а также простой и непростой задачей №2.

Событие с вероятностью ноль очень даже возможно в непрерывном случае. А в дискретном? Можно ли построить достаточно правдоподобный пример, например, с картами, монеткой или урнами, вероятностного пространства, где возможное событие имело бы строго нулевую вероятность.

Я придумал, но только шуточный. Вероятность нахождения в прикупе двух пиковых тузов для обычной колоды равна нулю, но я сам один раз видел, честное слово. Значит, событие возможно

Ну а если серьёзно?

[Asker Tasker]

Если рассматривать два одномастных туза как какую-то "погрешность вероятности", то таких погрешностей бесконечно много и произойти может что угодно. Подброшенная монетка может быть подхвачена пролетающим мимо воробьём, и ни орла, ни решки, ни ребра не выпадет. 36-карточная игральная колода могла оказаться бракованной - и в ней оказалось 10 пик вместо девяти. Если мы рассматриваем изолированный дискретный набор вариантов: 36 карт, 4 масти по 9 карт в каждой, то вероятность двух одномастных тузов нулевая и в данной постановке задачи это невозможное событие, а если мы расширяем наш набор: добавим все карты, которые ещё где-то есть в комнате, добавим вероятность брака на заводе и так далее, то это событие становится может и близким к нулю по вероятности его осуществления, но вполне возможным. А вот если в случае 36 карт (4х9, обычные карты и т.д.) выпао два пиковых туза, значит, задача была неполная

Ну, по крайней мере я так думаю.

(Оффтоп)

А что за задача номер 2?

[gris]

Asker Tasker, Задача №2 как раз и звучит так: "Вероятность события равны нулю. Верно ли, что оно невозможное?"

Вероятность точки, брошенной на отрезок, попасть точно в его середину или конкретную точку, равна нулю. Но это событие возможно. Иначе вообще невозможно падение точки.

Меня интересует дискретный случай. И как обосновать. Хотя, вероятно, надо просто повнимательнее почитать учебник

[Padawan]

gris
Вероятностное пространство $\Omega=\{0,1\}$. $P(\{0\})=0$, $P(\{1\})=1$.
Событие $\{0\}$ возможно и имеет нулевую вероятность.

[Joker_vD]

Еще бы знать, что такое "возможное событие"... Насколько я помню, есть "случайные события" — элементы сигма-алгебры $\mathcal F$, за исключением $\varnothing$ и $\Omega$, которые именуются "невозможное событие" и "достоверное событие" соответственно.

[gris]

Padawan, я согласен, что чисто формально можно задать.
Но мне хотелось бы некоторую живую, правдоподобную модель с интерпретацией.
Вот именно то, о чём говорит Joker_vD: чтобы можно было согласиться, что это событие не является невозможным, и что его вероятность, тем не менее, равна нулю.
Если честно, то после раздумий и над непрерывной моделью я стал сомневаться в том, что правильно понимаю многие вещи.

[Asker Tasker]

Ну, в случае с отрезком мы соотносим вероятность с мерой. Мера точки ноль, но тем не менее попасть мы можем в любую точку, значит, и в эту.
А вот в дискретном случае... Может, я не помню или путаю определение, но разве в дискретном случае нулевая вероятность события и его невозможность - это не одно и то же?

[Padawan]

gris
В случае конечного или счетного вероятностного пространства с сигма-алгеброй всех подмножеств такое возможно только если мера некоторых одноэлементных множеств равна нулю. То есть от моего примера не отличается принципиально.

А чтобы была жизненная интерпретация -- навряд ли. Зачем элементы с нулевой вероятностью вообще выделять в качестве возможных исходов?

[PAV]

gris
в дискретном бесконечном случае - запросто. Монета бросается до выпадения герба. Вероятность того, что герб не выпадет никогда, имеет нулевую вероятность, однако в принципе нет никаких физических законов, которые бы это событие запрещали, так что его вполне можно считать возможным.

С помощью несложной марковской цепи легко построить похожий пример и с конечным числом исходов.

-- Ср июн 13, 2012 21:46:03 --

Asker Tasker в сообщении #584537 писал(а):

Может, я не помню или путаю определение, но разве в дискретном случае нулевая вероятность события и его невозможность - это не одно и то же?

Строго говоря, нет, не одно и то же. Невозможное событие ровно одно - это пустое множество элементарных исходов. По определению. При этом никто не запрещает иметь исходы с нулевой вероятностью и, соответственно, непустые события, имеющие нулевую вероятность.

[gris]

PAV, спасибо, это, пожалуй, как раз то, что я и хотел.

Но тут всё равно вылезает некоторая непрерывность. Если результат бросания монетки интерпретировать как очередную двоичную цифру числа, мы как раз и получим моделирование бросания точки на отрезок.

Хотелось бы что-то без этого. Я, наверное, сам не чётко представляю, чего хочу.

Просто обычно невозможным событием называется такое, которое в условиях задачи произойти не может. Вероятность его равна нулю, в вот обратное неверно. И приводятся примеры для непрерывного случая. С бесконечным дискретным пример хороший, но тут тоже неявная непрерывность.

Я имею в виду, конечно, не "практическую невозможность", а "чисто конкретную

[Padawan]

Интересно, а какие вообще могут быть сигма-алгебры на конечном множестве? Можно ли их как-нибудь явно описать? А на счетном множестве?

[PAV]

Padawan в сообщении #584558 писал(а):

Интересно, а какие вообще могут быть сигма-алгебры на конечном множестве? Можно ли их как-нибудь явно описать? А на счетном множестве?

Все атомарные. Этого достаточно.

[Padawan]

В смысле атомарные? Сигма-алгебра $\{\varnothing,\Omega\}$ атомарная?

[venco]

PAV в сообщении #584544 писал(а):

gris
в дискретном бесконечном случае - запросто. Монета бросается до выпадения герба. Вероятность того, что герб не выпадет никогда, имеет нулевую вероятность, однако в принципе нет никаких физических законов, которые бы это событие запрещали, так что его вполне можно считать возможным.

С помощью несложной марковской цепи легко построить похожий пример и с конечным числом исходов.

Если легко, постройте, пожалуйста.

[svv]

Я начинаю бесконечную серию испытаний: я бросаю монетку, но результатом каждого броска считаю не выпадение орла или решки, а натуральное число $X$, равное номеру испытания в серии. Бросил монетку первый раз, получил $X=1$, бросил второй раз, получил $X=2$ и т.д. Так что монетка и не нужна, можно было бы просто стучать ладонью по столу -- чтобы было что подсчитывать.

Хотя величина $X$ для каждого испытания совершенно предсказуема, ничто не мешает рассматривать её как случайную.

Тогда событие $\{X=5\}$ возможно, и даже обязательно произойдёт, но имеет нулевую вероятность.