2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численные методы. Построение многочлена Лагранжа.
Сообщение12.06.2012, 17:08 


19/05/09
38
Доброго времени суток!

Задача по численным методам.

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции $f\left( x \right) = \left| x \right| $ по узлам -1, 0, 1.

Получается что $ L_{2}\left( x \right) = x^{2}$

Вопрос 1: Разве не должен полином Лагранжа быть той же степени, что и функция, если она является полином равной или меньшей чем N степени? Ведь "модуль" по сути это полином 1 степени.

По теоритическим расчетам погрешности так же вопрос:
в формуле $\left| f\left( x \right) - L_{N}\left( x \right) \right| \leq \frac {M_{N+1}} {(N+1)!}\left| w_{N}\left( x \right)  \right|  $ получаем что N+1 производная равна 0 везде.
Но ведь понятно, что у $\left| x \right| $ и $x^2$ есть погрешность.


Главный вопрос:
Разумно ли разбить на два интервала $ [-1;0], [0;1]$ и строить на каждом $ L_{1}\left( x \right) $?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы. Построение многочлена Лагранжа.
Сообщение12.06.2012, 17:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
nemoart в сообщении #583936 писал(а):
Ведь "модуль" по сути это полином 1 степени.
Это по какой такой сути? Не выдумывайте, $|x|$ не является полиномом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы. Построение многочлена Лагранжа.
Сообщение12.06.2012, 17:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nemoart в сообщении #583936 писал(а):
Ведь "модуль" по сути это полином 1 степени.

Нет.

nemoart в сообщении #583936 писал(а):
в формуле $\left| f\left( x \right) - L_{N}\left( x \right) \right| \leq \frac {M_{N+1}} {(N+1)!}\left| w_{N}\left( x \right) \right| $ получаем что N+1 производная равна 0 везде.

Для справедливости этой оценки нужно, чтобы существовала и была ограничена соответствующая производная. а у модуля даже второй-то производной нет, не говоря уж о третьей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы. Построение многочлена Лагранжа.
Сообщение12.06.2012, 17:17 


19/05/09
38
nnosipov в сообщении #583937 писал(а):
nemoart в сообщении #583936 писал(а):
Ведь "модуль" по сути это полином 1 степени.
Это по какой такой сути? Не выдумывайте, $|x|$ не является полиномом.


Хорошо, положим полином Лагранжа построен правильно...

Что не так тогда с оценкой погрешности?

-- Вт июн 12, 2012 18:18:39 --

ewert в сообщении #583938 писал(а):
nemoart в сообщении #583936 писал(а):
Ведь "модуль" по сути это полином 1 степени.

Нет.

nemoart в сообщении #583936 писал(а):
в формуле $\left| f\left( x \right) - L_{N}\left( x \right) \right| \leq \frac {M_{N+1}} {(N+1)!}\left| w_{N}\left( x \right) \right| $ получаем что N+1 производная равна 0 везде.

Для справедливости этой оценки нужно, чтобы существовала и была ограничена соответствующая производная. а у модуля даже второй-то производной нет, не говоря уж о третьей.



Как мне в таком случае оценивать погрешность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы. Построение многочлена Лагранжа.
Сообщение12.06.2012, 21:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nemoart в сообщении #583941 писал(а):
Как мне в таком случае оценивать погрешность?

Никак. Т.е. в такой постановке задачи -- совсем никак. А чтобы в этом убедиться -- достаточно просто попытаться прочитать ту формулу. Что это, собственно, такое: "$M_{N+1}$" ?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы. Построение многочлена Лагранжа.
Сообщение12.06.2012, 21:42 


19/05/09
38
ewert в сообщении #584053 писал(а):
nemoart в сообщении #583941 писал(а):
Как мне в таком случае оценивать погрешность?

Никак. Т.е. в такой постановке задачи -- совсем никак. А чтобы в этом убедиться -- достаточно просто попытаться прочитать ту формулу. Что это, собственно, такое: "$M_{N+1}$" ?...


$ \sup_{x} \left| f^{\left(N+1\right)} \left( x \right)\right| $ -- N+1 производная от заданной функции. Сейчас я понимаю, что для выполнения неравенства мы требуем от $f\left( x\right)$ принадлежность классу функций $C^{N+1}$.
Я могу сказать про локальную погрешность в любой точке. Но получается что про теоритеческую оценку максимальной погрешности ничего сказать нельзя? И на этом можно прекращать поиски вариантов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численные методы. Построение многочлена Лагранжа.
Сообщение12.06.2012, 23:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nemoart в сообщении #584076 писал(а):
Я могу сказать про локальную погрешность в любой точке. Но получается что про теоритеческую оценку максимальной погрешности ничего сказать нельзя?

Это бессмысленно. Про локальную погрешность в любой точке сказать в принципе ничего не возможно. И наоборот: про максимальную погрешность сказать очень даже можно, пусть и не вполне конкретно.

Истчо раз: попытайтесь осознать ту формулку.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group