2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение09.06.2012, 06:13 


31/03/06
1384
Someone в сообщении #582440 писал(а):
Феликс Шмидель в сообщении #582349 писал(а):
Я об этом писал:
Вы странно называете аксиому выделения. Под названием "аксиома подмножеств" я её не узнал. Я подумал, что речь идёт об аксиоме степени. Кстати, заодно нет и аксиомы подстановки.

Также сильно подозреваю, что нет и аксиомы объединения.

Вообще, какие-то непонятные у Вас идеи. Зачем это?


Я верю в объективную истинность или ложность арифметических утверждений.
В теории множеств истинность утверждений зависит от принятых аксиом.
Поэтому, нельзя сказать, что доказанные математические утверждения,
например, парадокс Банаха-Тарского, являются истиной.
Мои идеи являются неудачной попыткой свести математические утверждения к арифметическим.
Особенно неудачно название темы, потому что неразрешимые множества, конечно, существуют.

-- Сб июн 09, 2012 06:16:50 --

Профессор Снэйп в сообщении #582474 писал(а):
Да идеи, вообще говоря, не новые, и не его. Роджерс, \S 11.4


Не читал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение09.06.2012, 06:33 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Феликс Шмидель в сообщении #582483 писал(а):
Не читал.

Ну так почитайте!

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение09.06.2012, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Феликс Шмидель в сообщении #582483 писал(а):
Я верю в объективную истинность или ложность арифметических утверждений.
В теории множеств истинность утверждений зависит от принятых аксиом.
Не истинность, а доказуемость (выводимость). Доказуемость зависит от принятых аксиом как в теории множеств, так и в арифметике.
Что касается истинности, то она зависит от модели. Как в теории множеств, так и в арифметике. Это так же хорошо известно, причём, известны конкретные арифметические утверждения, истинные в одних моделях и ложные в других (например, теорема Гудстейна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение09.06.2012, 13:43 


31/03/06
1384
Someone в сообщении #582557 писал(а):
Что касается истинности, то она зависит от модели. Как в теории множеств, так и в арифметике. Это так же хорошо известно, причём, известны конкретные арифметические утверждения, истинные в одних моделях и ложные в других (например, теорема Гудстейна).


Возьмём некоторое диофантово уравнение и утверждение, что оно не имеет решений в натуральных числах. Например, существует конкретное диофантово уравнение, которое не имеет решений тогда и только тогда когда Геделево предложение $G$ истинно. Предложение $G$ независимо от аксиом Пеано, поэтому существует модель $M$, в которой оно ложно. Однако, на самом деле, $G$ истинно, и соответствующее диофантово уравнение не имеет решений в натуральных чисел. А то, что в модели $M$, предложение $G$ ложно говорит о том, что $M$ не представляет натуральный ряд, несмотря на то что в $M$ выполняются аксиомы Пеано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение09.06.2012, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Феликс Шмидель в сообщении #582593 писал(а):
$M$ не представляет натуральный ряд, несмотря на то что в $M$ выполняются аксиомы Пеано.
А что такое "натуральный ряд"?

Феликс Шмидель в сообщении #582593 писал(а):
Однако, на самом деле, $G$ истинно
Что значит "на самом деле"? Это "истинно" относится к вполне определённой интерпретации натуральных чисел, и $G$ легко может оказаться не истинным при другой интерпретации.

Арифметическое утверждение, о котором идёт речь - это просто утверждение о натуральных числах. Оно, в частности, само по себе не означает никакой доказуемости или недоказуемости чего-либо. Оно связывается с доказуемостью через метатеорию, и без метатеории мы его с доказуемостью связать не можем. Сама теорема Гёделя - это теорема метатеории, а не арифметики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение09.06.2012, 16:15 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Someone в сообщении #582623 писал(а):
Сама теорема Гёделя - это теорема метатеории, а не арифметики.

Я бы выразился точнее: это теорема арифметики, которая в связи с наличием гёделевской нумерации формул арифметики имеет метаарифметическую интерпритацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение09.06.2012, 16:59 


31/03/06
1384
Someone в сообщении #582623 писал(а):
Феликс Шмидель в сообщении #582593 писал(а):
$M$ не представляет натуральный ряд, несмотря на то что в $M$ выполняются аксиомы Пеано.
А что такое "натуральный ряд"?


Нестандартная модель арифметики Пеано не представляет натуральный ряд по той причине, что в ней существует число, которое больше бесконечного колличества других чисел этой модели.
Чтобы понять это, вовсе не обязательно определять, что такое "натуральный ряд".

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение09.06.2012, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Феликс Шмидель в сообщении #582654 писал(а):
Нестандартная модель арифметики Пеано не представляет натуральный ряд по той причине, что в ней существует число, которое больше бесконечного колличества других чисел этой модели.
Это опять же метаутверждение. Откуда Вы знаете, что такое число есть, если в Вашем распоряжении нет никакой конкретной модели, а Вы просто имеете систему аксиом? Когда Вы думаете о некоей "стандартной" модели, Вы ведь её не имеете фактически, Вы только верите, что она есть. Вдруг та модель, с которой Вы работаете фактически, нестандартная? Отличить стандартную модель от нестандартной, располагая только интерпретацией системы аксиом Пеано, нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение09.06.2012, 17:53 


31/03/06
1384
Someone в сообщении #582658 писал(а):
Когда Вы думаете о некоей "стандартной" модели, Вы ведь её не имеете фактически, Вы только верите, что она есть. Вдруг та модель, с которой Вы работаете фактически, нестандартная? Отличить стандартную модель от нестандартной, располагая только интерпретацией системы аксиом Пеано, нельзя.


Когда я работаю с натуральным рядом 1, 2, 3, ... я вовсе не думаю о модели аксиом Пеано на языке логики первого порядка.
Истинность утверждения, что уравнение $2x=5$ не имеет решений в натуральных числах не зависит от аксиом Пеано.
Это утверждение можно доказать исходя и из другой системы аксиом.
А если взять систему аксиом в которой это утверждение ложно, то эти аксиомы определяют не натуральные числа, а другие (например, рациональные).

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение09.06.2012, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Феликс Шмидель в сообщении #582674 писал(а):
Когда я работаю с натуральным рядом 1, 2, 3, ... я вовсе не думаю о модели аксиом Пеано на языке логики первого порядка.
Тогда разговор о "стандартной" или "нестандартной" модели становится бессмысленным.

Феликс Шмидель в сообщении #582674 писал(а):
Истинность утверждения, что уравнение $2x=5$ не имеет решений в натуральных числах не зависит от аксиом Пеано.
Это верно для любых диофантовых уравнений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение10.06.2012, 00:20 


31/03/06
1384
Someone в сообщении #582760 писал(а):
Феликс Шмидель в сообщении #582674 писал(а):
Истинность утверждения, что уравнение $2x=5$ не имеет решений в натуральных числах не зависит от аксиом Пеано.
Это верно для любых диофантовых уравнений?


Да, конечно, хотя аксиомы Пеано можно использовать для доказательства истинности арифметических утверждений.
Например, истинность утверждения Гёделя $G$ следует из истинности аксиом Пеано, несмотря на то, что формально $G$ не следует из аксиом Пеано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение10.06.2012, 09:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Феликс Шмидель в сообщении #582814 писал(а):
истинность утверждения Гёделя $G$ следует из истинности аксиом Пеано, несмотря на то, что формально $G$ не следует из аксиом Пеано
Сами же пишете, что $G$ в некоторых моделях может быть ложным. А формальная теория "не знает", какую модель Вы имеете в виду, когда говорите о натуральных числах. Поэтому истинность $G$ никак не может следовать из аксиом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение10.06.2012, 09:38 


31/03/06
1384
Someone в сообщении #582860 писал(а):
Сами же пишете, что $G$ в некоторых моделях может быть ложным. А формальная теория "не знает", какую модель Вы имеете в виду, когда говорите о натуральных числах. Поэтому истинность $G$ никак не может следовать из аксиом.


Может, если рассуждать неформально. Утверждение $G$ может быть ложно, но в этом случае ни о каких моделях аксиом Пеано не может быть и речи, их просто не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение10.06.2012, 09:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Феликс Шмидель в сообщении #582867 писал(а):
Может, если рассуждать неформально.
Извините, но для меня, как математика, рассуждения, которые не могут быть формализованы, ничего не значат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение10.06.2012, 10:04 


31/03/06
1384
Someone в сообщении #582871 писал(а):
Феликс Шмидель в сообщении #582867 писал(а):
Может, если рассуждать неформально.
Извините, но для меня, как математика, рассуждения, которые не могут быть формализованы, ничего не значат.


Эти рассуждения могут быть формализованы. Примем за аксиому утверждение о непротиворечивости аксиом Пеано. Тогда утверждение $G$ можно доказать формально.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 138 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group