новое решение сравнения 2^n = 3 (mod n)

[megamix62]

$k=4700063497 $ Guy (1994)
$k=3468371109448915 $ M. Alekseyev (pers. comm., Nov. 13, 2006)
$k=8365386194032363 $ Crump (pers. comm., 2000)
$k=10991007971508067 $ Crump (2007)
$k=63130707451134435989380140059866138830623361447484274774099906755 $
Montgomery (1999)

где $2^k == 3\ (mod\ k)$,
#####################################################################

Найдено уще 5 чисел ,удовлятворящию условию 2^n == 3 (mod\ n),
1. $n =2^ {4700063497}-3$
2. $n =2^ {3468371109448915}-3$
3. $n =2^{8365386194032363}-3$
4. $n =2^{10991007971508067}-3$
5. $n =2^{63130707451134435989380140059866138830623361447484274774099906755} -3$

причем n нечётное, не простое и не делится на 3.

Что n нечетное и не делится на 3 выходит из $2^k-3$.
Что n непростое выходит из $2^k == 3 (mod\ k)$,
т.е. $2^k -3 = 0 (mod\ k)$, т.е. делится на k для выще перечисленных
значений.

Далее находим следующие 5 чисел
где $n = 2^{2^{k}-3}-3$ и так далее и так далее до бесконесности. Отсюда вытекает следующая

Теорема: Чисел удовлятворящию условию $2^n == 3 (mod\ n)$ бесконечно много.

Пример:
$n =2^{4700063497}-3$
$2^{4700063497}-3 = 0 (mod\ 4700063497)$ => $2^{4700063497}-3= 4700063497* T$
$2^{n} -3 =$2^{2^{4700063497}-3} -3 = $(2^{{4700063497})*T} -3=$2^{{4700063497}*T} -3=3^{t} - 3(mod\ n)

Вчера написал прогу на Фоксе для перепроверки числа $4700063497$ - результат был отрицательным,
пришлось написать для Оракла - все сошлось (ура) $2^{4700063497}-3=0 (mod\ 4700063497)$
сейчас пишу прогу для вычисления $T$

[zhoraster]

Отделено из http://dxdy.ru/topic4786-45.html. Сформулируйте четко, что именно Вы собираетесь сказать нового и оформите все формулы в ТеХе.

[maxal]

megamix62 в сообщении #577939 писал(а):

Найдено уще 5 чисел ,удовлятворящию условию 2^n == 3 (mod n),
1. n =2^4700063497-3

Утверждение неверное.
Например, $n=2^{4700063497}-3$ делится на 19, но число $2^n-3$ на 19 не делится. Поэтому $2^n-3$ не может делиться на $n$.