2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Композиция полиномов
Сообщение18.01.2007, 15:33 


18/01/07
1
Пусть числа $1,2,\dots, N$, где $N$ - составное, являются корнями полинома $P(x),\ deg\ P=N$. При каких условиях существуют полиномы $Q$, $S$, $deg\ S>1,\ deg\ Q>1$, $deg\ S \times deg\ Q=N$, такие что $P(x)=Q(S(x))$. В частности, возможно ли такое при $N=999,\ deg\ Q=27,\ deg\ S=37$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2007, 08:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Док-во невозможности при $N=999,\deg Q=27,\deg S=37$:
Допустим, что $P(x)=Q(S(x))$. Запишем $Q(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\ldots(x-\alpha_{27})$. Подставляем в равенство $P(x)=Q(S(x))$ точки $x=1,2,\ldots,999$ и получаем, что
$$\{1,2,\ldots,999\}=\bigsqcup_{k=1}^{27}A_k,\#A_k=37,\quad\forall m\in A_k\ \ S(m)=\alpha_k.$$
Но тогда для любого $k=1,2,\ldots,27$ выполняется
$$S(x)=\alpha_k+b\prod_{\beta\in A_k}(x-\beta),$$
в частности, получаем, что $\sum\limits_{\beta\in A_k}\beta^2$ не зависит от $k$. Но тогда число $1^2+2^2+3^2+\ldots+999^2=\frac{999\cdot1000\cdot1999}{6}$ должно делиться на $27$, что, очевидно, не так. Противоречие.

Добавлено спустя 37 минут 10 секунд:

Вообще, вопрос сводится к тому, для каких натуральных $N,n,m$, удовлетворяющих условию $N=nm$, можно множество $\{1,2,\ldots,N\}$ представить в виде объединения $n$ попарно непересекающихся множеств из $m$ элементов каждое:
$$\{1,2,\ldots,N\}=\bigsqcup_{k=1}^nA_k,\ \#A_k=m,$$
чтобы при каждом $j=1,2,\ldots,m-1$ сумма $\sum\limits_{\beta\in A_k}\beta^j$ не зависела от $k$.
Но не думаю, что это поможет в решении общего случая.

P.S. Легко видеть, что если $N$ делится на $2$, то можно подобрать многочлены степеней $\deg Q=\frac N2$ и $\deg S=2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group