2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод Ньютона
Сообщение24.05.2012, 22:13 


02/11/11
124
Рассмотрим нелинейное уравнение вида $f(x)=0.$ Замечательный метод Ньютона предлагает строить следующую итерационную последовательность:
$$
x_{k+1}=x_k - \dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}
$$
Есть также теорема, которая говорит, что если функция дважды непрерывно дифференцируема в окрестности простого корня, если в этой окрестности $f'(x)\neq 0,$ и если хорошо выбрать начальное приближение, то метод сходится квадратично.
У меня вопрос в том, зачем нужно условие на простоту корня? Как это влияет? В вики предложен пример с $f(x)=x^2,$ где сходимость становится лишь линейной. Но я не могу понять, откуда берется такое плохое влияние. Ну и пусть в нашей окрестности $f(x)=(x-x^*)^pg(x),$ что в этом такого. В доказательстве теоремы явно нигде не используется.
Кроме того, в случае, когда кратность корня $p,$ формулу предлагают заменить на
$$
x_{k+1}=x_k - p\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}
$$
Этого я тоже не пойму, зачем... Помогите разобраться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Ньютона
Сообщение24.05.2012, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вы эту функцию в этот метод можете в явном виде подставить? Вот отсюда и берётся. Или о чём вопрос? Где это в теореме? Ну выпишите доказательство теоремы и подставьте опять-таки эту функцию туда. Какое-то из утверждений ВНЕЗАПНО станет ложным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Ньютона
Сообщение24.05.2012, 22:57 


02/11/11
124
Проблема в том, что теорема требует $f'(x)\neq 0$ в окрестности корня, что в случае $x^2$ неверно. Вообще, да, это будет неверно и в общем случае, если корень не простой (так ведь? Если продифференцировать $(x-x^*)^pg(x)$ ).
А неравенство нулю производной функции необходимо потому, что , если $m_1=\inf |f'(x)| > 0,$ $M_2=\sup |f''(x)|,$ то для сходимости метода теорема требует выбрать начальное приближение $x_0$ так, чтобы $\dfrac{M_2|x_0-x^*|}{2m_1}<1.$
Тогда вопрос, чем помогает вторая формула
$$
x_{k+1}=x_k - p\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}
$$
и зачем вообще условие на простоту корня (о нем везде так пишут...), если есть условие на производную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Ньютона
Сообщение24.05.2012, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вторая формула низачем. Обычно, если знаешь, что корень кратный - можно и как-нибудь попроще его найти.
А условие на простоту корня и условие на производную - это одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод Ньютона
Сообщение25.05.2012, 14:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
max(Im) в сообщении #575860 писал(а):
Кроме того, в случае, когда кратность корня $p,$ формулу предлагают заменить на
$$ x_{k+1}=x_k - p\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)} $$
Этого я тоже не пойму, зачем..

Дело в том, что в формуле метода Ньютона вычитается единица, делённая на логарифмическую производную для предыдущей итерации. Добавление множителя, равного кратности корня, означает, что фактически вместо уравнения $f(x)=0$ мы пытаемся решать уравнение $\sqrt[p]{f(x)}=0$ (там с точностью до знаков), для которого первая производная в окрестности корня уже ненулевая. Поэтому добавление этого множителя восстанавливает квадратичную скорость сходимости.

Однако оно не спасает от другого недостатка метода Ньютона в случае кратных корней -- от потери численной устойчивости по мере приближения к корню.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group