2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверьте пожалуйста задачку
Сообщение23.05.2012, 07:51 


22/12/08
155
Москва
Добрый день всем!

Решил задачу, а преподаватель говорит, что она решена неверно. Объяснять, что именно решено неправильно, отказался, задачу не принял. Посмотрите пожалуйста, где я ошибся?

Условие задачи: используя правило множителей Лагранжа, найти решение задачи:
$\left\{\begin{matrix}
x^2+3y^2\rightarrow extr\\ 
x+y\geq 1\\ 
y \geq 0 \\
x+3y \leq 3
\end{matrix}\right$

Решал так: Записал фунцию Лагранжа:
$L=x^2+3y^2+\lambda_1(x+y-1)+\lambda_2(x+3y-3)$

Условия Куна-Такера:
$L'_x=2x+\lambda_1+\lambda_2 =0$
$L'_y=6y+\lambda_1+3\lambda_2 =0$
$L'_{\lambda_1}=x+y-1 =0$
$L'_{\lambda_2}=x+3y-3=0$

Из двух последних уравнений получаю точку $x_0=0, \;\; y_0=1$

Подставляя их в первые два уравнения нахожу $\lambda_1=3, \;\; \lambda_2-3$

Получается следующая седловая точка функции Лагранжа
$x^*=(0;1;3;-3)$

Проверяю условие седловой точки:
$L(x_0;\lambda_0)=3$
$L(x;\lambda_0)=x^2+3(y-1)^2+3$
$L(x_0;\lambda)=3$

Откуда получается:
$F_{extr}=3$ в точке (0;1)

Вот. вроде так все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте пожалуйста задачку
Сообщение23.05.2012, 08:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Условия заданы неравенствами. Область — треугольник. Функция везде гладкая.
Я бы сделал так: Нашёл особые точки внутри области, хотя очевидно, что их нет.
Нашёл методом Лагранжа экстремумы на каждой стороне треугольника.
Нашёл значения функции в трёх угловых точках. И всё сравнил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте пожалуйста задачку
Сообщение23.05.2012, 08:17 


22/12/08
155
Москва
Но ответ то верный получен или ошибка в ответе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте пожалуйста задачку
Сообщение23.05.2012, 08:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
$F(3,0)=9; F(0.5,0.5)=1$
Так что ответ неверен. Кроме того, Вы должны найти минимум и максимум.
А где условие $y\geqslant 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте пожалуйста задачку
Сообщение23.05.2012, 09:40 


22/12/08
155
Москва
Цитата:
$F(3,0)=9; F(0.5,0.5)=1$
$F'=2-6(1-x)=0$, тогда x=2/3

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте пожалуйста задачку
Сообщение23.05.2012, 09:48 


02/11/08
1187
И что это значит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте пожалуйста задачку
Сообщение23.05.2012, 09:49 


22/12/08
155
Москва
Я не понял, как найдена точка F(0.5;0.5) -?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте пожалуйста задачку
Сообщение23.05.2012, 10:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Я привёл примеры точек, в которых значения функции больше и меньше найденного Вами экстремального. То есть в точке $(0,1)$ не достигается ни минимум, ни максимум. Вы же спрашивали, верен ли ответ?
Вообще, по виду функции можно догадаться, что минимум её в заданной области лежит где-то на отрезке $[(0,1),(1,0)]. Точно можно определить с помощью метода Лагранжа именно для этого отрезка с одной лямбдой.
Если вам нужно применять именно метод Куна-Таккера, то применяйте, но корректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте пожалуйста задачку
Сообщение25.08.2012, 09:39 


25/08/12
1
Условия Куна-Таккера составлены неверно, да к тому же должно быть два ответа на минимум и максимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте пожалуйста задачку
Сообщение25.08.2012, 10:37 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Вы внимательно посмотрите на свои "условия" Куна-Такера. То, что вы находите как экстремум - есть не что иное как точка пересечения прямых, ограничивающих область, вершина треугольника. А сама функция и не при делах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group