2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 19:11 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Добрый вечер. Нужно в $GL_2(\mathbb{C})$ найти подгруппу, изоморфную $Z_3$.
Достаточно ли просто указать, какие элементы будут в этой подгруппе? Очевидно, что там будет 3 матрицы: $E$, произвольная $A$ и $A^{-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 19:13 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Судя по заданию нужно эти матрицы найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 19:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Не совсем произвольная. Даже, я бы сказал, совсем не.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 19:31 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Что ж, раз она "совсем не произвольная", то давайте подумаем. $Z_3 = \{ 0, 1, 2 \}$, единичная матрица из $GL_2(\mathbb{C})$ переходит в $0$, к примеру; потом, совсем не произвольная матрица переходит в $1$, а обратная ей - в $2$. И разве не для произвольной матрицы можно (теоретически) придумать такой изоморфизм? Впрочем, я пока ни для одной матрицы пока не могу привести пример такого изоморфизма.. :D Может, какую-нибудь операцию с определителем взять.. Думаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 19:38 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
А может $\mathbb{C}$ не просто так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Нет, комплексные тут как раз просто так (можно было обойтись действительными), а вот как... Вы как проверяете, что изоморфизм - это изоморфизм, а не просто обезьяна увидела открытый Paint и какие-то стрелочки намалевала?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 19:44 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
ИСН в сообщении #571947 писал(а):
Нет, комплексные тут как раз просто так (можно было обойтись действительными), а вот как..

Может и так. Но для $\mathbb{C}$ нужная группа находится очень легко. А вроде именно это и надо сделать. Хотя для $\mathbb{R}$ тоже не сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 19:59 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
ИСН в сообщении #571947 писал(а):
Вы как проверяете, что изоморфизм - это изоморфизм, а не просто обезьяна увидела открытый Paint и какие-то стрелочки намалевала?

$f(a\cdot b) = f(a)\cdot f(b)$ - это свойство должно выполниться, где $f$ - это у нас изоморфизм. Ну и, понятное дело, взаимно однозначное соответствие..
AV_77 в сообщении #571949 писал(а):
Но для $\mathbb{C}$ нужная группа находится очень легко. А вроде именно это и надо сделать.

Именно это и надо сделать, да. Я-то думал, будет достаточно описать подгруппу эту, но, похоже, и правда, маловато будет этого. Значит, матрицы 2х2, с комплексными числами, одна обратна другой, и они переходят в $1$ и $2$, соответственно.. Стоит ли построить примеры двух таких матриц, или ответ всё же на поверхности лежит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Кроме того, что одна обратна другой, есть на них какие-нибудь условия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 20:10 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Они ещё и невырожденные должны быть. Вроде всё..

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
farewe11 в сообщении #571954 писал(а):
$f(a\cdot b) = f(a)\cdot f(b)$

Вы перебрали все возможные пары (a,b)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 20:20 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
ИСН в сообщении #571962 писал(а):
farewe11 в сообщении #571954 писал(а):
$f(a\cdot b) = f(a)\cdot f(b)$

Вы перебрали все возможные пары (a,b)?


Да; правда, этот процесс носил слегка абстрактный характер, т.к. я ещё не изготовил конкретных матриц.. ну а вообще все возможные пары вот: $E\cdot E = E$, $A\cdot E = A$, $A^{-1} \cdot E = A^{-1}$, $A\cdot A^{-1} = E$. Вот, пожалуйста - группа из трех элементов..

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Это не все возможные пары.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 20:27 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Всё, понял, к чему вы клоните. $A\cdot A$, $A^{-1} \cdot A^{-1}$ - вот про них забыл. Что ж.. $A\cdot A = A^{-1}$, $A^{-1} \cdot A^{-1} = A$ , вероятнее всего. Вот у нас и сформировались дополнительные требования к матрицам.. потянет на ответ? (если это верно, разумеется)

-- Ср май 16, 2012 21:34:00 --

Вряд ли это верно, честно говоря. По таблице Кэли это единственный вариант, но как-то не слишком жизненно он выглядит..

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти подгруппу, изоморфную другой группе
Сообщение16.05.2012, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вот! Только это ещё не ответ. Ответ - это конкретные матрицы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group