2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение15.05.2012, 09:26 


02/04/11
956
Доказательство того, что любая группа порядка 6 изоморфна $\mathbb{Z}/6$ или $\mathbb{Z}/3 \rtimes \mathbb{Z}/2$ (и, следовательно, все неабелевые группы порядка 6 изоморфны).

Рассмотрим комплексные представления группы $G$ порядка 6. Имеем известную формулу $$|G| = \sum_{T \in \hat G} (\dim T)^2.$$ Есть два разложения 6 на сумму квадратов: $6 = 2^2 + 1^2 + 1^2$ и $6 = 6 \cdot 1^2$. Во втором случае по известной теореме группа абелева, и из изоморфизма $\mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/2 \cong \mathbb{Z}/6$ немедленно получаем, что она единственна.

В первом случае же имеем два неприводимых одномерных представления. Одно из них тривиально, другое имеет ядро порядка 3 (если бы оно имело ядро порядка 1 или 2, то имелся бы нетривиальный автоморфизм образа, что дало бы еще как минимум одно неприводимое одномерное представление). Но группа простого порядка циклическая, значит имеем нормальную подгруппу $\mathbb{Z}/3 \cong H \triangleleft G$. Теперь можно непосредственно проверить, что группа $G$ имеет вид $G = \lbrace 1, x, x^2, y, xy, yx \rbrace$, где $xy \neq yx$, в противном случае группа была бы абелевой. Но тогда имеем $y^2 = 1$, и $G = \langle x \rangle \langle y \rangle$, причем группа $H = \langle x \rangle$ нормальна, и $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = 1$, откуда $G = \langle x \rangle \rtimes \langle y \rangle \cong \mathbb{Z}/3 \rtimes \mathbb{Z}/2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение15.05.2012, 11:20 


02/04/11
956
А, ну и конечно изоморфизм любых неабелевых групп порядка 6 задается отображением описанной выше пары порождающих в пару порождающих другой группы :) Т.е. изоморфизм $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/2) \to S_3$ полностью задается, например, так: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \mapsto (123), \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \mapsto (12).$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group