Победная последовательность

[Dave]

Последовательность $\{x_n\}_{n=0}^{\infty}$ при любом натуральном $n$ удовлетворяет соотношению

$$x_n=\sum_{i=1}^n \frac {x_i x_{n-i}} i \eqno(1)$$

Кроме этого, известно, что $x_1=1$. Выразите $x_n$ через $n$ в явном виде, с доказательством того, что соответствующая формула удовлетворяет $(1)$.

[EtCetera]

У Вас тут, кажется, небольшая путаница со значениями индексов.

[Dave]

EtCetera в сообщении #568986 писал(а):

У Вас тут, кажется, небольшая путаница со значениями индексов.

Я предвидел этот вопрос. Нет, путаницы нет, всё правильно. $x_n$ есть и в левой, и в правой частях. $(1)$, строго говоря, рекуррентным соотношением не является. Если не выразить $x_n$ явным образом, конечно.

[nnosipov]

Dave в сообщении #568982 писал(а):

Кроме этого, известно, что $x_1=1$.

Наверное, $x_0=1$.

[EtCetera]

nnosipov

nnosipov в сообщении #568988 писал(а):

Наверное, $x_0=1$.

Видимо, ТС подразумевает, что мы должны найти $x_0$ из соотношения $x_1=\dfrac{x_1 x_{1-1}}{1}$ . Впрочем, его значение также оказывается равным единице.

[nnosipov]

EtCetera в сообщении #568989 писал(а):

Видимо, ТС подразумевает, что мы должны найти $x_0$ из соотношения $x_1=\dfrac{x_1 x_{1-1}}{1}$ .

Очень может быть.

[hippie]

Ответ: $x_n = \frac {n^n}{n!}.$ (При этом считается, что $0^0=1.$)

Подставив $y=0, a=1$ в тождество Абеля $\sum\limits_{k=0}^n C_n^kx(x+ka)^{k-1}(y+(n-k)a)^{n-k}=(x+y+na)^n$ получаем $\sum\limits_{k=0}^n C_n^kx(x+k)^{k-1}(n-k)^{n-k}=(x+n)^n.$
Продифференцировав полученное равенство получаем: $\sum\limits_{k=1}^n C_n^k((k-1)x(x+k)^{k-2}+(x+k)^{k-1})(n-k)^{n-k}=n(x+n)^{n-1}.$
При $x=0$ получаем: $\sum\limits_{k=1}^n C_n^kk^{k-1}(n-k)^{n-k}=n^n.$
Разделив обе части этого равенства на $n!$ получаем: $\sum\limits_{k=1}^n \frac{\frac {k^k}{k!}\cdot\frac{(n-k)^{n-k}}{(n-k)!}}k=\frac{n^n}{n!}.$

nnosipov в сообщении #568988 писал(а):

Наверное, $x_0=1$.

Если бы было задано $x_0=1,$ то из уравнения $x_1=x_0x_1$ не может быть получено значение $x_1.$
А при $x_1=1$ вся последовательность восстанавливается однозначно.

[nnosipov]

hippie в сообщении #569008 писал(а):

Подставив $y=0, a=1$ в тождество Абеля ...

Забавно вышло Вот уж не думал, когда в соседней теме его выписывал.

[Dave]

Всё верно, hippie. В этом сообщении идея доказательства, не использующая тождество Абеля (положить $x=n$ в $(1)$, приведённом там).

Как изменится формула для $x_n$, если $x_1$ равно не $1$, а произвольной константе $C \neq 0$ ?