Выражение для суммы.

[Vvp_57]

Уравнение $\LARGE{x^4-x^3+x^2+3x+1=0}$ имеет два действительных корня:
$r_1=-.43691112721....$ и $r_2=-.71973996370....$

Известно что сумма:
$\sqrt[5]{2r_1+1}+\sqrt[5]{2r_2+1}=-0.187382363841....$

Выражается в квадратных и кубических радикалах. Найдите это выражение.

[maxal]

Пусть $f(x)=x^4-x^3+x^2+3x+1$. Тогда $\sqrt[5]{2r_i+1}$ ($i=1,2$) являются корнями многочлена:

$$f(\tfrac{y^5-1}{2})=\tfrac{1}{16} (y^4-y^3+y^2+y-1) (y^{16}+y^{15}-2y^{13}-2y^{12}-5y^{11}-y^{10}+4y^9+8y^8+3y^6-y^5+4y^4+2y^3+2y^2+y+1).$$

Так как у второго сомножителя нет действительных корней, то $\sqrt[5]{2r_i+1}$ ($i=1,2$) являются действительными корнями многочлена $y^4-y^3+y^2+y-1$. Выражаем корни многочлена в радикалах и получаем выражение для искомой суммы:

$$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt {3}}{6}\sqrt {{\frac {-5\,\left( {\frac {83}{2}}+\frac{3}{2}\,\sqrt {993}\right)^{1/3}+4\, \left( {\frac {83}{2}}+\frac{3}{2}\,\sqrt {993} \right) ^{2/3}-32}{\left( {\frac {83}{2}}+\frac{3}{2}\,\sqrt {993} \right)^{1/3}}}}.$$

[Vvp_57]

Спасибо, maxal. Отличный ответ! Неожиданный для меня.
Надеюсь Вы не обидетесь если я чуть подправлю найденное выражение:
$\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{-5}{12}+\frac{1}{6}\sqrt[3]{332+12\sqrt{993}}-\frac{16}{3\sqrt[3]{332+12\sqrt{993}}}}$