2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическая
Сообщение10.01.2007, 23:33 


07/01/07
30
Саранск
Можно ли построить описанный 2003-многоугольник, если он имеет стороны длиной 1,2,...,2003. Причем стороны могут располагаться и не по порядку.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2007, 23:46 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Это что-то олимпиадное?.. Предполагаю даже, что олимпиада, на которой была предложена такая задача, состоялась в 2003 году :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая
Сообщение11.01.2007, 05:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
ton007 писал(а):
Можно ли построить описанный 2003-многоугольник, если он имеет стороны длиной 1,2,...,2003. Причем стороны могут располагаться и не по порядку.

Нельзя. Пусть длины сторон (по часовой стрелке) равны $a_1=1,a_2,a_3,\ldots,a_{2003}$. Точками касания стороны делятся на отрезки длин:
№1: $x$ и $a_1-x=1-x$, $x\in(0;1)$;
№2: $a_1-x$ и $a_2-a_1+x$
...
№2003: $a_{2002}-a_{2001}+a_{2000}-\ldots-a_1+x$ и $a_{2003}-a_{2002}+a_{2001}-\ldots-a_2+a_1-x$
Значит, $x=a_{2003}-a_{2002}+a_{2001}-\ldots-a_2+a_1-x$. Учитывая, что $a_j$ целые, а $x\in(0;1)$, имеем
$a_{1}+a_3+a_5+\ldots+a_{2003}=a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{2002}+1$.
Значит, число $a_1+a_2+\ldots+a_{2003}=1+2+\ldots+2003=\frac{2003\cdot2004}2$ нечетно. Нонсенс. (Я даже на калькуляторе проверил на всякий случай. Это четное число)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group